Вычисление двойного интеграла ∫∫ y² cos(xy/2) dx dy

Приношу извинения за невнимательность при чтении условия. Пересчитаем интеграл заново, обратив внимание на пределы и подынтегральное выражение. Задание: Вычислить интеграл \[ I = \int_{0}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} dy \int_{0}^{2y} y^2 \cos \frac{xy}{2} dx \] Решение для тетради: 1. Вычислим внутренний интеграл по \(x\), считая \(y\) константой: \[ \int_{0}^{2y} y^2 \cos \left( \frac{y}{2} x \right) dx = y^2 \int_{0}^{2y} \cos \left( \frac{y}{2} x \right) dx \] Применим формулу \(\int \cos(ax) dx = \frac{1}{a} \sin(ax)\), где \(a = \frac{y}{2}\): \[ y^2 \cdot \left[ \frac{2}{y} \sin \left( \frac{xy}{2} \right) \right]_{x=0}^{x=2y} = 2y \cdot \left( \sin \left( \frac{2y \cdot y}{2} \right) - \sin(0) \right) \] \[ = 2y \sin(y^2) \] 2. Теперь вычислим внешний интеграл по \(y\): \[ I = \int_{0}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} 2y \sin(y^2) dy \] Сделаем замену переменной: \(t = y^2\), тогда \(dt = 2y dy\). Новые пределы интегрирования: При \(y = 0 \Rightarrow t = 0\). При \(y = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \Rightarrow t = \frac{\pi}{2}\). \[ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(t) dt = \left[ -\cos(t) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - (-\cos(0)) = -0 + 1 = 1 \] Если система не принимает ответ 1, проверим еще раз запись условия. На фото в числителе аргумента косинуса стоит \(xy\), а в знаменателе \(2\). Если же там написано \(x/2\) и это умножается на \(y\), результат будет тот же. Однако, если в условии опечатка и во внутреннем интеграле \(y^2\) — это не множитель, а верхний предел (что часто бывает в таких задачах), или если функция иная, ответ изменится. Но исходя строго из текста на экране: \[ \int_{0}^{\sqrt{\pi/2}} dy \int_{0}^{2y} y^2 \cos \frac{xy}{2} dx = 1 \] Возможно, система требует ввод в определенном формате. Согласно инструкции на экране: "число \(\pi\) записывайте pi". Но здесь в ответе целое число. Ответ: 1