Решение РГР №1 Вариант 14: Построение эпюр

Расчетно-графическая работа № 1 Тема: Построение эпюр продольных сил, нормальных напряжений и осевых перемещений поперечных сечений. Дано (Вариант 14): \( F_1 = 180 \text{ кН} = 180 \cdot 10^3 \text{ Н} \) \( F_2 = 240 \text{ кН} = 240 \cdot 10^3 \text{ Н} \) \( A = 31 \text{ см}^2 = 31 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \) \( l = 0,3 \text{ м} \) \( E = 200 \text{ ГПа} = 2 \cdot 10^{11} \text{ Па} \) Решение: 1. Определение продольных сил \( N \) на участках. Разобьем брус на участки, начиная от свободного края (справа налево). Участок 1 (крайний правый, длина \( l \), сечение \( 2A \)): Проведем сечение и рассмотрим правую часть. \[ N_1 = F_1 = 180 \text{ кН} \] (Растяжение) Участок 2 (второй справа, длина \( l \), сечение \( A \)): \[ N_2 = F_1 = 180 \text{ кН} \] (Растяжение) Участок 3 (третий справа, длина \( l \), сечение \( A \)): На этом участке приложена сила \( F_2 \), направленная влево. \[ N_3 = F_1 - F_2 = 180 - 240 = -60 \text{ кН} \] (Сжатие) Участок 4 (у заделки, длина \( l \), сечение \( 2A \)): \[ N_4 = F_1 - F_2 = 180 - 240 = -60 \text{ кН} \] (Сжатие) 2. Определение нормальных напряжений \( \sigma \). Формула: \( \sigma = \frac{N}{S} \), где \( S \) — площадь сечения. Участок 1: \[ \sigma_1 = \frac{N_1}{2A} = \frac{180 \cdot 10^3}{2 \cdot 31 \cdot 10^{-4}} \approx 29032258 \text{ Па} \approx 29 \text{ МПа} \] Участок 2: \[ \sigma_2 = \frac{N_2}{A} = \frac{180 \cdot 10^3}{31 \cdot 10^{-4}} \approx 58064516 \text{ Па} \approx 58 \text{ МПа} \] Участок 3: \[ \sigma_3 = \frac{N_3}{A} = \frac{-60 \cdot 10^3}{31 \cdot 10^{-4}} \approx -19354839 \text{ Па} \approx -19 \text{ МПа} \] Участок 4: \[ \sigma_4 = \frac{N_4}{2A} = \frac{-60 \cdot 10^3}{2 \cdot 31 \cdot 10^{-4}} \approx -9677419 \text{ Па} \approx -10 \text{ МПа} \] 3. Определение удлинений участков \( \Delta l \). Формула: \( \Delta l = \frac{N \cdot l}{E \cdot S} \) \[ \Delta l_1 = \frac{180 \cdot 10^3 \cdot 0,3}{2 \cdot 10^{11} \cdot 2 \cdot 31 \cdot 10^{-4}} \approx 0,0000435 \text{ м} = 0,044 \text{ мм} \] \[ \Delta l_2 = \frac{180 \cdot 10^3 \cdot 0,3}{2 \cdot 10^{11} \cdot 31 \cdot 10^{-4}} \approx 0,0000871 \text{ м} = 0,087 \text{ мм} \] \[ \Delta l_3 = \frac{-60 \cdot 10^3 \cdot 0,3}{2 \cdot 10^{11} \cdot 31 \cdot 10^{-4}} \approx -0,0000290 \text{ м} = -0,029 \text{ мм} \] \[ \Delta l_4 = \frac{-60 \cdot 10^3 \cdot 0,3}{2 \cdot 10^{11} \cdot 2 \cdot 31 \cdot 10^{-4}} \approx -0,0000145 \text{ м} = -0,015 \text{ мм} \] Суммарная деформация: \[ \Delta L = \Delta l_1 + \Delta l_2 + \Delta l_3 + \Delta l_4 = 0,044 + 0,087 - 0,029 - 0,015 = 0,087 \text{ мм} \] 4. Определение перемещений сечений \( w \). Считаем от заделки (левый край), где \( w_0 = 0 \). \[ w_1 = w_0 + \Delta l_4 = -0,015 \text{ мм} \] \[ w_2 = w_1 + \Delta l_3 = -0,015 - 0,029 = -0,044 \text{ мм} \] \[ w_3 = w_2 + \Delta l_2 = -0,044 + 0,087 = 0,043 \text{ мм} \] \[ w_4 = w_3 + \Delta l_1 = 0,043 + 0,044 = 0,087 \text{ мм} \] 5. Построение эпюр. Для тетради начертите брус вертикально или горизонтально. Под ним проведите три базовые линии для эпюр \( N \), \( \sigma \) и \( w \). - Эпюра \( N \): прямоугольники со значениями 180, 180, -60, -60 (кН). - Эпюра \( \sigma \): прямоугольники со значениями 29, 58, -19, -10 (МПа). - Эпюра \( w \): ломаная линия, соединяющая точки 0; -0,015; -0,044; 0,043; 0,087 (мм). Заключение: Весь брус в целом удлинился на 0,087 мм. Опасным участком является второй участок справа, так как на нем возникают максимальные нормальные напряжения \( \sigma_{max} = 58 \text{ МПа} \). Вывод: В ходе работы были изучены методы расчета ступенчатых брусьев на растяжение-сжатие. Построены эпюры продольных сил, напряжений и перемещений, позволяющие наглядно оценить прочность и жесткость конструкции. Данные расчеты являются базовыми для обеспечения надежности отечественных инженерных сооружений и машин.