Решение задачи №22: Построение графика и поиск m

Ниже представлено подробное решение задачи №22, оформленное для переписывания в тетрадь. Задание №22 Постройте график функции \(y = \frac{1}{2} \left( \left| \frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} \right| + \frac{x}{3,5} + \frac{3,5}{x} \right)\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно одну общую точку. Решение: 1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): Так как \(x\) находится в знаменателе, то \(x \neq 0\). 2. Упростим выражение, используя определение модуля. Рассмотрим два случая для выражения под модулем: \[\frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} \geq 0\] Случай 1: Если \(\frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} \geq 0\), то модуль раскрывается со знаком "плюс": \[y = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} + \frac{x}{3,5} + \frac{3,5}{x} \right) = \frac{1}{2} \left( 2 \cdot \frac{x}{3,5} \right) = \frac{x}{3,5}\] Случай 2: Если \(\frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} < 0\), то модуль раскрывается со знаком "минус": \[y = \frac{1}{2} \left( -\left( \frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} \right) + \frac{x}{3,5} + \frac{3,5}{x} \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{x}{3,5} + \frac{3,5}{x} + \frac{x}{3,5} + \frac{3,5}{x} \right) = \frac{1}{2} \left( 2 \cdot \frac{3,5}{x} \right) = \frac{3,5}{x}\] 3. Определим границы интервалов. Решим неравенство \(\frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} \geq 0\): \[\frac{x^2 - 3,5^2}{3,5x} \geq 0 \Rightarrow \frac{(x - 3,5)(x + 3,5)}{3,5x} \geq 0\] Методом интервалов получаем: \(x \in [-3,5; 0) \cup [3,5; +\infty)\). Итоговая функция: \[y = \begin{cases} \frac{x}{3,5}, & \text{если } x \in [-3,5; 0) \cup [3,5; +\infty) \\ \frac{3,5}{x}, & \text{если } x \in (-\infty; -3,5) \cup (0; 3,5) \end{cases}\] 4. Описание графика: - На луче \([3,5; +\infty)\) график — часть прямой \(y = \frac{x}{3,5}\) (начинается в точке \((3,5; 1)\)). - На интервале \((0; 3,5)\) график — часть гиперболы \(y = \frac{3,5}{x}\) (спускается от \(+\infty\) до точки \((3,5; 1)\)). - На полуинтервале \([-3,5; 0)\) график — часть прямой \(y = \frac{x}{3,5}\) (от точки \((-3,5; -1)\) до \(0\), точка \(0\) выколота). - На луче \((-\infty; -3,5)\) график — часть гиперболы \(y = \frac{3,5}{x}\) (от \(0\) до точки \((-3,5; -1)\)). 5. Анализ количества решений: Прямая \(y = m\) — это горизонтальная прямая. - При \(m > 1\): прямая пересекает гиперболу и прямую (2 точки). - При \(m = 1\): прямая проходит через "склейку" графиков в точке \((3,5; 1)\) (1 точка). - При \(0 < m < 1\): общих точек нет. - При \(m = 0\): общих точек нет (асимптота и выколотая точка). - При \(-1 < m < 0\): прямая пересекает и гиперболу, и прямую (2 точки). - При \(m = -1\): прямая проходит через "склейку" в точке \((-3,5; -1)\) (1 точка). - При \(m < -1\): общих точек нет. Ровно одна общая точка при \(m = 1\) и \(m = -1\). Ответ: -1; 1.