Решение задачи №1 Варианта 2

Ниже представлено решение задач из Варианта 2, оформленное для записи в тетрадь. Часть 1 Задание 1. Проанализируем рисунки: 1) На первом рисунке отрезок \(BK\) образует с прямой \(AC\) угол \(90^{\circ}\). Это означает, что \(BK\) — высота. Утверждение 1 неверно. 2) Как отмечено выше, \(BK\) перпендикулярен стороне \(AC\), значит \(BK\) — высота треугольника \(ABC\). Утверждение 2 верно. 3) На втором рисунке отрезок \(CN\) делит угол \(C\) на два равных угла по \(29^{\circ}\). Это признак биссектрисы, а не медианы. Утверждение 3 неверно. 4) Так как \(\angle BCN = \angle FCN = 29^{\circ}\), то \(CN\) — биссектриса треугольника \(BCF\). Утверждение 4 верно. 5) На третьем рисунке точка \(S\) делит сторону \(LM\) на равные отрезки (\(LS = SM = 5\)). Значит, \(KS\) — медиана, а не биссектриса. Утверждение 5 неверно. Ответ: 2, 4. Часть 2 Задание 2. Дано: \(\triangle SPK\) — равнобедренный, \(SK\) — основание, \(\angle 1 = 48^{\circ}\). Найти: \(\angle 2\). Решение: 1) Углы \(\angle 1\) и \(\angle PSK\) являются смежными, поэтому их сумма равна \(180^{\circ}\). \[ \angle PSK = 180^{\circ} - \angle 1 = 180^{\circ} - 48^{\circ} = 132^{\circ} \] 2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Так как \(SK\) — основание, то \(\angle PSK = \angle PKS = 132^{\circ}\). 3) Углы \(\angle PKS\) и \(\angle 2\) являются смежными. \[ \angle 2 = 180^{\circ} - \angle PKS = 180^{\circ} - 132^{\circ} = 48^{\circ} \] Ответ: \(48^{\circ}\). Часть 3 Задание 3. Дано: \(AB \cap MK = O\), \(MO = OK\), \(\angle BMO = \angle AKO\). Доказать: \(\triangle MOB = \triangle KOA\). Доказательство: Рассмотрим треугольники \(MOB\) и \(KOA\): 1) \(MO = OK\) (по условию, так как \(O\) — середина \(MK\)); 2) \(\angle BMO = \angle AKO\) (по условию); 3) \(\angle MOB = \angle KOA\) (как вертикальные углы). Следовательно, \(\triangle MOB = \triangle KOA\) по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Что и требовалось доказать. Задание 4. Дано: \(\triangle BMC\), \(BM = MC\), \(MK\) — биссектриса, \(A \in MK\). Доказать: \(AB = AC\). Доказательство: 1) Рассмотрим \(\triangle BMA\) и \(\triangle CMA\). 2) \(BM = MC\) (по условию). 3) \(MA\) — общая сторона. 4) \(\angle BMA = \angle CMA\), так как \(MK\) — биссектриса угла \(M\), а точка \(A\) лежит на ней. 5) Значит, \(\triangle BMA = \triangle CMA\) по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). 6) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \(AB = AC\). Что и требовалось доказать. Задание 5*. Дано: окр. с центром \(O\), \(AB\) — диаметр, \(CD\) — хорда, \(AB \cap CD = K\), \(CK = KD\), \(\angle CAD = 40^{\circ}\). Найти: \(\angle BAD\). Решение: 1) В окружности диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен этой хорде. Значит, \(AB \perp CD\). 2) Рассмотрим \(\triangle CAD\). Так как \(AK\) является медианой (\(CK = KD\)) и высотой (\(AK \perp CD\)), то \(\triangle CAD\) — равнобедренный с основанием \(CD\). 3) В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой. Значит, \(AK\) — биссектриса \(\angle CAD\). 4) \(\angle BAD = \frac{1}{2} \angle CAD = \frac{1}{2} \cdot 40^{\circ} = 20^{\circ}\). Ответ: \(20^{\circ}\).