Решение задачи №16: Найти углы треугольника DEF

Задача №16 Дано: Треугольник \( \triangle DEF \). Точка \( S \) лежит на стороне \( DF \). \( ES \perp DF \) (высота). \( DS = SF \) (точка \( S \) — середина \( DF \)). \( DE = EF \) (треугольник равнобедренный по условию равенства сторон, отмеченных одной чертой). \( \angle SED = 45^\circ \). Найти: Углы \( \triangle DEF \). Решение: 1. Рассмотрим треугольник \( \triangle DSE \). Так как \( ES \perp DF \), то \( \angle DSE = 90^\circ \). Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \), следовательно: \[ \angle SDE = 180^\circ - \angle DSE - \angle SED \] \[ \angle SDE = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \] Так как \( \angle SDE = \angle SED = 45^\circ \), то \( \triangle DSE \) — равнобедренный, откуда \( DS = SE \). 2. Рассмотрим треугольники \( \triangle DSE \) и \( \triangle FSE \). По условию \( DS = SF \), сторона \( SE \) — общая, \( \angle DSE = \angle FSE = 90^\circ \). Следовательно, \( \triangle DSE = \triangle FSE \) по двум катетам. Из равенства треугольников следует, что \( \angle SFE = \angle SDE = 45^\circ \) и \( \angle SEF = \angle SED = 45^\circ \). 3. Вычислим углы треугольника \( \triangle DEF \): \[ \angle D = \angle SDE = 45^\circ \] \[ \angle F = \angle SFE = 45^\circ \] \[ \angle E = \angle SED + \angle SEF = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \] Таким образом, треугольник \( \triangle DEF \) является прямоугольным равнобедренным. Ответ: \( \angle D = 45^\circ \), \( \angle E = 90^\circ \), \( \angle F = 45^\circ \).