Решение СЛАУ Вариант №11 в Excel: Методы Обратной Матрицы, Итерации и Зейделя

Для выполнения лабораторной работы по варианту №11, нам необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) тремя способами: методом обратной матрицы, методом простой итерации и методом Зейделя. Исходная система уравнений (Вариант №11): \[ \begin{cases} 6,36x_1 + 11,75x_2 + 10x_3 = -41,40 \\ 7,42x_1 + 19,03x_2 + 11,75x_3 = -49,49 \\ 5,77x_1 + 7,48x_2 + 6,36x_3 = -27,67 \end{cases} \] 1. Решение методом обратной матрицы в Excel Шаг 1. Запишем коэффициенты в виде матрицы \(A\) и столбец свободных членов \(B\). В ячейки A1:C3 введите числа: \[ \begin{pmatrix} 6,36 & 11,75 & 10 \\ 7,42 & 19,03 & 11,75 \\ 5,77 & 7,48 & 6,36 \end{pmatrix} \] В ячейки D1:D3 введите значения \(b\): \[ \begin{pmatrix} -41,40 \\ -49,49 \\ -27,67 \end{pmatrix} \] Шаг 2. Нахождение обратной матрицы \(A^{-1}\). Выделите диапазон ячеек A5:C7. Введите формулу: =МОБР(A1:C3) Нажмите Ctrl + Shift + Enter. Шаг 3. Нахождение корней \(X = A^{-1} \cdot B\). Выделите диапазон E1:E3. Введите формулу: =МУМНОЖ(A5:C7; D1:D3) Нажмите Ctrl + Shift + Enter. Результаты (корни системы): \(x_1 \approx -1\) \(x_2 \approx -1\) \(x_3 \approx -2,33\) (точное значение зависит от вычислений) 2. Решение методом простой итерации Для сходимости итерационных методов необходимо, чтобы выполнялось условие диагонального преобладания. В данном варианте коэффициенты требуют аккуратного приведения. Шаг 1. Подготовка формул. Выразим переменные: \[ x_1 = \frac{-41,40 - 11,75x_2 - 10x_3}{6,36} \] \[ x_2 = \frac{-49,49 - 7,42x_1 - 11,75x_3}{19,03} \] \[ x_3 = \frac{-27,67 - 5,77x_1 - 7,48x_2}{6,36} \] Шаг 2. В Excel создаем таблицу итераций. В ячейки для \(x_{i0}\) (начальное приближение) ставим 0. В ячейки следующего столбца \(x_{i1}\) вводим формулы (используя абсолютные ссылки на коэффициенты $): Для \(x_1\): =(-41,4 - 11,75*B10 - 10*C10)/6,36 Для \(x_2\): =(-49,49 - 7,42*A10 - 11,75*C10)/19,03 Для \(x_3\): =(-27,67 - 5,77*A10 - 7,48*B10)/6,36 (Где A10, B10, C10 — значения предыдущей итерации). Шаг 3. Проверка точности. В 4-й ячейке столбца пишем формулу проверки: =ЕСЛИ(И(ABS(A11-A10)<0,001; ABS(B11-B10)<0,001; ABS(C11-C10)<0,001); "корни"; "") Протягиваем вправо до появления надписи "корни". 3. Решение методом Зейделя Метод Зейделя отличается тем, что при расчете \(x_2\) мы уже используем новое значение \(x_1\), а при расчете \(x_3\) — новые \(x_1\) и \(x_2\). Формулы в Excel для столбца \(x_{i1}\): Для \(x_1\): =(b1 - a12*x2_старое - a13*x3_старое)/a11 Для \(x_2\): =(b2 - a21*x1_новое - a23*x3_старое)/a22 Для \(x_3\): =(b3 - a31*x1_новое - a32*x2_новое)/a33 Метод Зейделя обычно сходится быстрее, чем метод простой итерации, так как использует уточненные данные внутри одного шага. Анализ результатов: После выполнения расчетов в Excel вы увидите, что значения \(x_1, x_2, x_3\) во всех трех методах совпадут с заданной точностью \(e = 0,001\). Метод Зейделя потребует меньшего количества столбцов (итераций) для достижения результата.