ОГЭ Математика: Решение Демонстрационного Варианта

Ниже представлен демонстрационный вариант ОГЭ по математике, составленный с учетом актуальных типов задач. Решения и ответы оформлены так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. \[ \text{Часть 1} \] Задание 1. (Практическая задача) Хозяин участка планирует построить баню. Участок имеет прямоугольную форму. Длина участка \( 10 \) метров, ширина \( 8 \) метров. Найдите площадь участка. Решение: Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: \[ S = a \cdot b \] \[ S = 10 \cdot 8 = 80 \, (м^2) \] Ответ: 80. Задание 6. (Вычисления) Найдите значение выражения: \[ \frac{1}{4} + 0,05 \] Решение: Переведем обыкновенную дробь в десятичную: \[ \frac{1}{4} = 0,25 \] \[ 0,25 + 0,05 = 0,3 \] Ответ: 0,3. Задание 7. (Числовая прямая) Одно из чисел \( \sqrt{28}, \sqrt{33}, \sqrt{38}, \sqrt{47} \) отмечено на прямой точкой \( A \). Известно, что точка \( A \) находится между числами \( 6 \) и \( 7 \), ближе к \( 6 \). Какое это число? Решение: Возведем границы в квадрат: \[ 6^2 = 36, \quad 7^2 = 49 \] Число должно быть в промежутке \( (36; 49) \). Это либо \( \sqrt{38} \), либо \( \sqrt{47} \). Так как точка ближе к \( 6 \) (к числу \( \sqrt{36} \)), то это \( \sqrt{38} \). Ответ: \( \sqrt{38} \). Задание 9. (Уравнение) Решите уравнение: \[ x^2 - 9 = 0 \] Решение: \[ x^2 = 9 \] \[ x_1 = 3, \quad x_2 = -3 \] Если в ответе нужно указать меньший корень, пишем \( -3 \). Ответ: -3; 3. Задание 12. (Расчет по формуле) Зная длину шага \( L = 0,8 \) м, найдите расстояние \( S \), которое прошел человек, если он сделал \( n = 2000 \) шагов. Формула: \( S = L \cdot n \). Решение: \[ S = 0,8 \cdot 2000 = 1600 \, (м) \] Ответ: 1600. Задание 15. (Геометрия) В треугольнике \( ABC \) угол \( C \) равен \( 90^\circ \), \( AC = 6 \), \( BC = 8 \). Найдите длину гипотенузы \( AB \). Решение: По теореме Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] \[ AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \] \[ AB = \sqrt{100} = 10 \] Ответ: 10. \[ \text{Часть 2 (с развернутым решением)} \] Задание 20. (Алгебра) Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} \] Решение: Выразим \( y \) из первого уравнения: \[ y = 5 - x \] Подставим во второе: \[ x(5 - x) = 6 \] \[ 5x - x^2 - 6 = 0 \] \[ x^2 - 5x + 6 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 = 2 \Rightarrow y_1 = 5 - 2 = 3 \] \[ x_2 = 3 \Rightarrow y_2 = 5 - 3 = 2 \] Ответ: (2; 3), (3; 2). Задание 23. (Геометрия с доказательством) В прямоугольнике \( ABCD \) диагонали пересекаются в точке \( O \). Докажите, что треугольник \( AOB \) равнобедренный. Доказательство: 1) В прямоугольнике диагонали равны: \( AC = BD \). 2) Точка пересечения диагоналей прямоугольника делит их пополам: \[ AO = OC = \frac{1}{2}AC \] \[ BO = OD = \frac{1}{2}BD \] 3) Так как \( AC = BD \), то их половины также равны: \( AO = BO \). 4) Следовательно, в треугольнике \( AOB \) две стороны равны, значит, он равнобедренный. Что и требовалось доказать.