Решение задачи: Периметр треугольника с описанной окружностью

Дано: a = 8 см b = 15 см R : c = 1 : \( \sqrt{3} \) Найти: P — ? Решение: 1. Из условия отношения радиуса описанной окружности к третьей стороне имеем: \[ \frac{R}{c} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies c = R\sqrt{3} \] 2. Воспользуемся теоремой синусов: \[ \frac{c}{\sin \gamma} = 2R \] Подставим выражение для c: \[ \frac{R\sqrt{3}}{\sin \gamma} = 2R \] \[ \sin \gamma = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 3. Уравнение \( \sin \gamma = \frac{\sqrt{3}}{2} \) имеет два решения для углов треугольника: Первый случай: \( \gamma_1 = 60^\circ \) Второй случай: \( \gamma_2 = 120^\circ \) 4. Найдем третью сторону c, используя теорему косинусов: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \gamma \] Случай 1: \( \gamma = 60^\circ \) \[ c_1^2 = 8^2 + 15^2 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos 60^\circ \] \[ c_1^2 = 64 + 225 - 240 \cdot \frac{1}{2} \] \[ c_1^2 = 289 - 120 = 169 \] \[ c_1 = \sqrt{169} = 13 \text{ см} \] Случай 2: \( \gamma = 120^\circ \) \[ c_2^2 = 8^2 + 15^2 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos 120^\circ \] \[ c_2^2 = 64 + 225 - 240 \cdot (-\frac{1}{2}) \] \[ c_2^2 = 289 + 120 = 409 \] \[ c_2 = \sqrt{409} \text{ см} \] 5. Вычислим возможные значения периметра: \[ P_1 = a + b + c_1 = 8 + 15 + 13 = 36 \text{ см} \] \[ P_2 = a + b + c_2 = 8 + 15 + \sqrt{409} = 23 + \sqrt{409} \text{ см} \] Ответ: 36 см или \( 23 + \sqrt{409} \) см.