Определение Jx, Wx, ix круглого сечения

Задача: Определить геометрические характеристики круглого сечения (момент инерции \( J_x \), момент сопротивления \( W_x \) и радиус инерции \( i_x \)) относительно оси \( x \), касательной к основанию круга. Дано: Круглое сечение диаметром \( D \). Ось \( x \) проходит по касательной к нижней точке круга. Решение: 1. Осевой момент инерции относительно центральной оси \( x_0 \) (проходящей через центр тяжести круга) вычисляется по формуле: \[ J_{x0} = \frac{\pi D^4}{64} \] 2. Согласно теореме Гюйгенса-Штейнера (о параллельном переносе осей), момент инерции относительно оси \( x \), удаленной от центральной оси на расстояние \( a = \frac{D}{2} \), равен: \[ J_x = J_{x0} + A \cdot a^2 \] где \( A = \frac{\pi D^2}{4} \) — площадь круга. Подставим значения: \[ J_x = \frac{\pi D^4}{64} + \frac{\pi D^2}{4} \cdot \left( \frac{D}{2} \right)^2 = \frac{\pi D^4}{64} + \frac{\pi D^4}{16} = \frac{\pi D^4 + 4\pi D^4}{64} = \frac{5\pi D^4}{64} \] 3. Момент сопротивления \( W_x \) определяется как отношение момента инерции к расстоянию до самой удаленной точки сечения от оси \( x \). В данном случае максимальное расстояние \( y_{max} = D \): \[ W_x = \frac{J_x}{y_{max}} = \frac{5\pi D^4}{64 \cdot D} = \frac{5\pi D^3}{64} \] 4. Радиус инерции \( i_x \) вычисляется по формуле: \[ i_x = \sqrt{\frac{J_x}{A}} \] Подставим значения: \[ i_x = \sqrt{\frac{5\pi D^4 / 64}{\pi D^2 / 4}} = \sqrt{\frac{5\pi D^4 \cdot 4}{64 \cdot \pi D^2}} = \sqrt{\frac{5 D^2}{16}} = \frac{D\sqrt{5}}{4} \] Ответ: \[ J_x = \frac{5\pi D^4}{64} \] \[ W_x = \frac{5\pi D^3}{64} \] \[ i_x = \frac{D\sqrt{5}}{4} \]