Решение задачи: Определение реакций связей аналитическим способом

Дано: \[ G = 450 \text{ Н} \] \[ \alpha = 70^{\circ} \text{ (угол стержня с вертикалью)} \] \[ \beta = 30^{\circ} \text{ (угол наклонной плоскости с вертикалью)} \] Найти: \[ R_A, S_{AB} \] Решение: Рассмотрим равновесие катка. На него действуют три силы: 1. Сила тяжести \( \vec{G} \), направленная вертикально вниз. 2. Реакция наклонной плоскости \( \vec{R_A} \). Так как трение не учитывается, она направлена перпендикулярно плоскости. Угол между вектором \( \vec{R_A} \) и горизонталью равен углу наклона плоскости к вертикали, то есть \( 30^{\circ} \). 3. Реакция стержня \( \vec{S_{AB}} \). Она направлена вдоль стержня под углом \( 70^{\circ} \) к вертикали. Для решения задачи составим систему уравнений равновесия сил в проекциях на оси координат. Выберем ось \( Ox \) горизонтально вправо, а ось \( Oy \) вертикально вверх. Углы сил с положительным направлением оси \( Ox \): Для \( \vec{R_A} \): \( 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ} \) (сила направлена влево-вверх). Для \( \vec{S_{AB}} \): \( 90^{\circ} + 70^{\circ} = 160^{\circ} \) (сила направлена влево-вверх, удерживая каток). Для \( \vec{G} \): \( 270^{\circ} \). Уравнения равновесия: \[ \sum F_x = 0: R_A \cdot \cos(150^{\circ}) + S_{AB} \cdot \cos(160^{\circ}) = 0 \] \[ \sum F_y = 0: R_A \cdot \sin(150^{\circ}) + S_{AB} \cdot \sin(160^{\circ}) - G = 0 \] Подставим значения тригонометрических функций: \[ \cos(150^{\circ}) = -0,866 \] \[ \sin(150^{\circ}) = 0,5 \] \[ \cos(160^{\circ}) = -0,940 \] \[ \sin(160^{\circ}) = 0,342 \] Система уравнений: 1) \( -0,866 \cdot R_A - 0,940 \cdot S_{AB} = 0 \) 2) \( 0,5 \cdot R_A + 0,342 \cdot S_{AB} = 450 \) Из первого уравнения выразим \( R_A \): \[ R_A = \frac{-0,940 \cdot S_{AB}}{0,866} \approx -1,085 \cdot S_{AB} \] Подставим во второе уравнение: \[ 0,5 \cdot (-1,085 \cdot S_{AB}) + 0,342 \cdot S_{AB} = 450 \] \[ -0,5425 \cdot S_{AB} + 0,342 \cdot S_{AB} = 450 \] \[ -0,2005 \cdot S_{AB} = 450 \] \[ S_{AB} = \frac{450}{-0,2005} \approx -2244,4 \text{ Н} \] Знак минус означает, что стержень работает на сжатие (направлен в сторону катка). Найдем \( R_A \): \[ R_A = -1,085 \cdot (-2244,4) \approx 2435,2 \text{ Н} \] Ответ: Реакция плоскости \( R_A \approx 2435,2 \text{ Н} \), усилие в стержне \( S_{AB} \approx 2244,4 \text{ Н} \) (сжатие).