Решение задачи: расчет тока и напряжения в цепи с сопротивлением R1

Для решения задачи воспользуемся законом Джоуля-Ленца в дифференциальной форме, так как сила тока изменяется со временем. Дано: \(R = 100\) Ом \(I_0 = 0\) А \(I_{max} = 10\) А \(t = 30\) с Найти: \(Q\) Решение: 1. Поскольку ток нарастает равномерно, запишем зависимость силы тока от времени \(i(t)\). Это линейная функция вида: \[i(t) = I_0 + k \cdot t\] Так как \(I_0 = 0\), то \(i(t) = k \cdot t\). Коэффициент пропорциональности \(k\) найдем из условия, что в момент времени \(t = 30\) с ток равен \(I_{max}\): \[k = \frac{I_{max}}{t}\] Следовательно: \[i(t) = \frac{I_{max}}{t} \cdot \tau\] где \(\tau\) — текущее время. 2. Согласно закону Джоуля-Ленца, за бесконечно малый промежуток времени \(d\tau\) выделяется количество теплоты \(dQ\): \[dQ = i^2(\tau) R d\tau\] 3. Чтобы найти полное количество теплоты \(Q\), проинтегрируем это выражение в пределах от \(0\) до \(t\): \[Q = \int_{0}^{t} \left( \frac{I_{max}}{t} \tau \right)^2 R d\tau\] \[Q = \frac{I_{max}^2 R}{t^2} \int_{0}^{t} \tau^2 d\tau\] 4. Вычислим интеграл: \[\int_{0}^{t} \tau^2 d\tau = \left[ \frac{\tau^3}{3} \right]_0^t = \frac{t^3}{3}\] 5. Подставим результат интегрирования в формулу для \(Q\): \[Q = \frac{I_{max}^2 R}{t^2} \cdot \frac{t^3}{3} = \frac{I_{max}^2 R t}{3}\] 6. Произведем расчет: \[Q = \frac{10^2 \cdot 100 \cdot 30}{3} = \frac{100 \cdot 100 \cdot 30}{3} = 10000 \cdot 10 = 100000 \text{ Дж}\] Переведем в килоджоули: \[Q = 100 \text{ кДж}\] Ответ: \(Q = 100\) кДж.