Определение токов в ветвях электрической цепи переменного тока

Ниже представлено решение задачи по определению токов в ветвях электрической цепи переменного тока на основе данных из предоставленных изображений. Решение оформлено в виде, удобном для переписывания в школьную или студенческую тетрадь. Дано: \(U = 240\) В, \(\psi_u = -40^\circ\) \(f = 50\) Гц \(R_1 = 23\) Ом, \(R_3 = 20\) Ом \(L_1 = 64\) мГн, \(L_2 = 85\) мГн, \(L_3 = 50\) мГн \(C_1 = 174\) мкФ, \(C_2 = 122\) мкФ Решение: 1) Рассчитаем реактивные сопротивления элементов: \[X_{L1} = 2\pi f L_1 = 2 \cdot 3,14 \cdot 50 \cdot 64 \cdot 10^{-3} = 20,106 \text{ Ом}\] \[X_{L2} = 2\pi f L_2 = 2 \cdot 3,14 \cdot 50 \cdot 85 \cdot 10^{-3} = 26,704 \text{ Ом}\] \[X_{L3} = 2\pi f L_3 = 2 \cdot 3,14 \cdot 50 \cdot 50 \cdot 10^{-3} = 15,708 \text{ Ом}\] \[X_{C1} = \frac{1}{2\pi f C_1} = \frac{1}{2 \cdot 3,14 \cdot 50 \cdot 174 \cdot 10^{-6}} = 18,294 \text{ Ом}\] \[X_{C2} = \frac{1}{2\pi f C_2} = \frac{1}{2 \cdot 3,14 \cdot 50 \cdot 122 \cdot 10^{-6}} = 26,091 \text{ Ом}\] 2) Запишем комплексные сопротивления ветвей: \[\underline{Z}_1 = R_1 + jX_{L1} = 23 + j20,106 = 30,549 \cdot e^{j41,16^\circ} \text{ Ом}\] \[\underline{Z}_2 = jX_{L2} = j26,704 = 26,704 \cdot e^{j90^\circ} \text{ Ом}\] \[\underline{Z}_3 = R_3 + j(X_{L3} - X_{C2}) = 20 + j(15,708 - 26,091) = 20 - j10,383 = 22,535 \cdot e^{-j27,44^\circ} \text{ Ом}\] \[\underline{Z}_4 = -jX_{C1} = -j18,294 = 18,294 \cdot e^{-j90^\circ} \text{ Ом}\] 3) Найдем эквивалентное сопротивление параллельного участка \(\underline{Z}_{23}\): \[\underline{Z}_{23} = \frac{\underline{Z}_2 \cdot \underline{Z}_3}{\underline{Z}_2 + \underline{Z}_3} = \frac{26,704 \cdot e^{j90^\circ} \cdot 22,535 \cdot e^{-j27,44^\circ}}{j26,704 + 20 - j10,383} = \frac{601,753 \cdot e^{j62,56^\circ}}{20 + j16,321} = \frac{601,753 \cdot e^{j62,56^\circ}}{25,814 \cdot e^{j39,22^\circ}} = 23,311 \cdot e^{j23,35^\circ} \text{ Ом}\] В алгебраической форме: \(\underline{Z}_{23} = 21,402 + j9,239\) Ом. 4) Общее сопротивление цепи: \[\underline{Z}_{общ} = \underline{Z}_1 + \underline{Z}_{23} + \underline{Z}_4 = (23 + j20,106) + (21,402 + j9,239) - j18,294 = 44,402 + j11,051 = 45,757 \cdot e^{j13,98^\circ} \text{ Ом}\] 5) Комплексное входное напряжение: \[\dot{U} = U \cdot e^{j\psi_u} = 240 \cdot e^{-j40^\circ} = (183,851 - j154,269) \text{ В}\] 6) Расчет токов в ветвях: Общий ток (ток в первой ветви): \[\dot{I}_1 = \frac{\dot{U}}{\underline{Z}_{общ}} = \frac{240 \cdot e^{-j40^\circ}}{45,757 \cdot e^{j13,98^\circ}} = 5,245 \cdot e^{-j53,98^\circ} = (3,085 - j4,242) \text{ А}\] Напряжение на параллельном участке: \[\dot{U}_{23} = \dot{I}_1 \cdot \underline{Z}_{23} = 5,245 \cdot e^{-j53,98^\circ} \cdot 23,311 \cdot e^{j23,35^\circ} = 122,27 \cdot e^{-j30,63^\circ} \text{ В}\] Токи во второй и третьей ветвях по закону Ома: \[\dot{I}_2 = \frac{\dot{U}_{23}}{\underline{Z}_2} = \frac{122,27 \cdot e^{-j30,63^\circ}}{26,704 \cdot e^{j90^\circ}} = 4,579 \cdot e^{-j120,63^\circ} = (-2,333 - j3,94) \text{ А}\] \[\dot{I}_3 = \frac{\dot{U}_{23}}{\underline{Z}_3} = \frac{122,27 \cdot e^{-j30,63^\circ}}{22,535 \cdot e^{-j27,44^\circ}} = 5,426 \cdot e^{-j3,19^\circ} = (5,417 - j0,302) \text{ А}\] Проверка по первому закону Кирхгофа: \[\dot{I}_1 = \dot{I}_2 + \dot{I}_3 = (-2,333 - j3,94) + (5,417 - j0,302) = 3,084 - j4,242 \text{ А}\] Результаты совпадают с учетом погрешности округления. Ответ: \(\dot{I}_1 = 5,245 \cdot e^{-j53,98^\circ}\) А, \(\dot{I}_2 = 4,579 \cdot e^{-j120,63^\circ}\) А, \(\dot{I}_3 = 5,426 \cdot e^{-j3,19^\circ}\) А.