Решение задачи: координаты точек и площадь треугольника ABC

Для решения задачи подставим значения \(k = 3\) и \(n = -1\) в координаты точек. 1. Определение координат точек: Точка \(A(-n; 2k; k + n)\): \(x = -(-1) = 1\) \(y = 2 \cdot 3 = 6\) \(z = 3 + (-1) = 2\) \(A(1; 6; 2)\) Точка \(B(n; 2n + k; k - n)\): \(x = -1\) \(y = 2(-1) + 3 = 1\) \(z = 3 - (-1) = 4\) \(B(-1; 1; 4)\) Точка \(C(n; 2k - 2n; k + 2n)\): \(x = -1\) \(y = 2(3) - 2(-1) = 6 + 2 = 8\) \(z = 3 + 2(-1) = 3 - 2 = 1\) \(C(-1; 8; 1)\) 2. Нахождение площади треугольника \(ABC\): Площадь треугольника через векторное произведение находится по формуле: \[ S = \frac{1}{2} | \vec{AB} \times \vec{AC} | \] Найдем координаты векторов: \(\vec{AB} = (-1 - 1; 1 - 6; 4 - 2) = (-2; -5; 2)\) \(\vec{AC} = (-1 - 1; 8 - 6; 1 - 2) = (-2; 2; -1)\) Вычислим векторное произведение: \[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & -5 & 2 \\ -2 & 2 & -1 \end{vmatrix} \] \[ = \vec{i}(5 - 4) - \vec{j}(2 - (-4)) + \vec{k}(-4 - 10) = 1\vec{i} - 6\vec{j} - 14\vec{k} \] Вектор произведения: \((1; -6; -14)\). Найдем его модуль: \[ |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{1^2 + (-6)^2 + (-14)^2} = \sqrt{1 + 36 + 196} = \sqrt{233} \] Площадь: \[ S = \frac{\sqrt{233}}{2} \approx 7.63 \] 3. Нахождение высоты \(BP\): Высота \(BP\) опущена на сторону \(AC\). Площадь треугольника также равна: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BP \implies BP = \frac{2S}{AC} \] Найдем длину стороны \(AC\) (модуль вектора \(\vec{AC}\)): \[ AC = |\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \] Теперь вычислим высоту: \[ BP = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{233}}{2}}{3} = \frac{\sqrt{233}}{3} \approx 5.09 \] Ответ: Площадь треугольника \(S = \frac{\sqrt{233}}{2}\). Высота \(BP = \frac{\sqrt{233}}{3}\).