Решение задачи по матрицам методом Гаусса: Разбор значений

Для нахождения обратной матрицы методом Гаусса подставим значения \(k = 3\) и \(n = -1\) в исходную матрицу \(A\). 1. Составим матрицу \(A\): \(a_{11} = k + 1 = 3 + 1 = 4\) \(a_{12} = n = -1\) \(a_{13} = k = 3\) \(a_{21} = n - k = -1 - 3 = -4\) \(a_{22} = 1\) \(a_{23} = n - k = -1 - 3 = -4\) \(a_{31} = -k = -3\) \(a_{32} = -n = -(-1) = 1\) \(a_{33} = 1 - k = 1 - 3 = -2\) Получаем матрицу: \[ A = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 3 \\ -4 & 1 & -4 \\ -3 & 1 & -2 \end{pmatrix} \] 2. Припишем справа единичную матрицу: \[ \begin{pmatrix} 4 & -1 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & -4 & | & 0 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & -2 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] 3. Выполняем элементарные преобразования строк: Прибавим первую строку ко второй: \[ \begin{pmatrix} 4 & -1 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & | & 1 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & -2 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] Прибавим третью строку к первой: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & | & 1 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & -2 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] К третьей строке прибавим первую, умноженную на 3: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & | & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 3 & 0 & 4 \end{pmatrix} \] Поменяем вторую и третью строки местами: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & | & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] Прибавим третью строку к первой и ко второй: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 4 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & | & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] Умножим третью строку на \(-1\): \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 4 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \] 4. Результат: Справа от черты образовалась искомая обратная матрица \(A^{-1}\). Ответ: \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 4 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \]