schoolМатематика
verifiedРешено AI
Решение и объяснение системы уравнений методом Гаусса
help_outlineУсловие задачи
От куда появились значения во втором действии Реши задачу: От куда берутся значения в третьей части решения -2-3 и тд Реши задачу: От куда в 3 части решения появилась 1/2
lightbulbКраткий ответ
В представленном решении системы уравнений методом Гаусса подробно объяснены все этапы преобразования матрицы, включая происхождение ключевых значений и выбор операций для приведения к ступенчатому виду.
Подробное решение
Для решения системы уравнений подставим значения \(k = 3\) и \(n = -1\).
1. Составим систему уравнений:
\[ 3x - 1y + ( -1 + 3)z = 3 \]
\[ (3 - (-1))x + 3y + (3 - (-1))z = 2(3) - (-1) \]
\[ -1x + (-1 - 3)y + 2(-1)z = -1 - 3 \]
Упростим коэффициенты:
\[ 3x - y + 2z = 3 \]
\[ 4x + 3y + 4z = 7 \]
\[ -x - 4y - 2z = -4 \]
2. Запишем расширенную матрицу системы:
\[ \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & | & 3 \\ 4 & 3 & 4 & | & 7 \\ -1 & -4 & -2 & | & -4 \end{pmatrix} \]
3. Решим методом Гаусса (приведение к ступенчатому виду):
Поменяем 1-ю и 3-ю строки местами для удобства вычислений (чтобы в начале была \(-1\)):
\[ \begin{pmatrix} -1 & -4 & -2 & | & -4 \\ 4 & 3 & 4 & | & 7 \\ 3 & -1 & 2 & | & 3 \end{pmatrix} \]
Умножим 1-ю строку на \(-1\):
\[ \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 & | & 4 \\ 4 & 3 & 4 & | & 7 \\ 3 & -1 & 2 & | & 3 \end{pmatrix} \]
Обнулим элементы под первой единицей. Ко второй строке прибавим первую, умноженную на \(-4\). К третьей строке прибавим первую, умноженную на \(-3\):
\[ \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 & | & 4 \\ 0 & -13 & -4 & | & -9 \\ 0 & -13 & -4 & | & -9 \end{pmatrix} \]
Мы видим, что вторая и третья строки совпали. Вычтем из третьей строки вторую:
\[ \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 & | & 4 \\ 0 & -13 & -4 & | & -9 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \]
4. Нахождение общего решения:
Система имеет бесконечное множество решений, так как ранг матрицы равен 2, а количество переменных — 3. Пусть \(z\) — свободная переменная. Обозначим \(z = t\).
Из второй строки:
\[ -13y - 4t = -9 \implies 13y = 9 - 4t \implies y = \frac{9}{13} - \frac{4}{13}t \]
Из первой строки:
\[ x + 4y + 2t = 4 \]
\[ x + 4(\frac{9}{13} - \frac{4}{13}t) + 2t = 4 \]
\[ x + \frac{36}{13} - \frac{16}{13}t + \frac{26}{13}t = \frac{52}{13} \]
\[ x = \frac{52 - 36}{13} - \frac{10}{13}t = \frac{16}{13} - \frac{10}{13}t \]
5. Запишем общее решение в столбцовой форме:
\[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{16}{13} \\ \frac{9}{13} \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -\frac{10}{13} \\ -\frac{4}{13} \\ 1 \end{pmatrix} \]
Ответ:
Общее решение системы: \(x = \frac{16 - 10t}{13}\), \(y = \frac{9 - 4t}{13}\), \(z = t\), где \(t \in \mathbb{R}\).