Объяснение решения задачи: Откуда берутся уравнения?

В третьей части решения мы используем два вида уравнений, которые берутся из предыдущих этапов: 1. Параметрическое уравнение прямой. Оно выводится из канонического уравнения прямой, которое мы получили в первом пункте: \[ \frac{x - 9}{6} = \frac{y + 7}{-6} = \frac{z + 1}{3} \] Чтобы перейти к параметрическому виду, мы приравниваем каждую дробь к переменной \(t\) (параметру): \[ \frac{x - 9}{6} = t \implies x - 9 = 6t \implies x = 9 + 6t \] \[ \frac{y + 7}{-6} = t \implies y + 7 = -6t \implies y = -7 - 6t \] \[ \frac{z + 1}{3} = t \implies z + 1 = 3t \implies z = -1 + 3t \] Эти уравнения описывают координаты любой точки, лежащей на данной прямой, в зависимости от значения \(t\). 2. Уравнение плоскости. Его мы получили в конце второго этапа: \[ 2x - 2y + z - 4 = 0 \] Суть метода: Чтобы найти проекцию точки \(M\) на прямую, нам нужно найти точку пересечения этой прямой с плоскостью, которая проходит через \(M\) и перпендикулярна прямой. Для этого мы подставляем выражения для \(x, y, z\) из параметрического уравнения прямой в уравнение плоскости. Это позволяет нам найти конкретное значение параметра \(t\), при котором прямая «протыкает» нашу плоскость. Подстановка выглядит так: \[ 2 \cdot (9 + 6t) - 2 \cdot (-7 - 6t) + 1 \cdot (-1 + 3t) - 4 = 0 \] Решив это уравнение относительно \(t\), мы находим координату точки пересечения (проекции).