Решение геометрической задачи с объяснениями

Для решения этой задачи подставим заданные значения \(k = 3\) и \(n = -1\) в систему уравнений плоскостей. 1. Подстановка значений: Первая плоскость (\(\pi_1\)): \[ -2y + (-1)z + 3(-1) = 0 \implies -2y - z - 3 = 0 \implies 2y + z + 3 = 0 \] Вторая плоскость (\(\pi_2\)): \[ 3x - 3(-1)y - (-1)^2 z + 3(-1)^2 \cdot 3 = 0 \] \[ 3x + 3y - z + 9 = 0 \] 2. Нахождение угла между плоскостями: Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами \(\vec{n_1}\) и \(\vec{n_2}\). Из уравнений плоскостей: \(\vec{n_1} = (0; 2; 1)\) \(\vec{n_2} = (3; 3; -1)\) Косинус угла \(\alpha\) вычисляется по формуле: \[ \cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} \] \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \cdot 3 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) = 0 + 6 - 1 = 5 \] \[ |\vec{n_1}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{5} \] \[ |\vec{n_2}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19} \] \[ \cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{19}} = \frac{5}{\sqrt{95}} = \frac{\sqrt{95}}{19} \] \[ \alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{95}}{19}\right) \] 3. Нахождение канонического уравнения линии пересечения: Направляющий вектор линии пересечения \(\vec{s}\) находится как векторное произведение нормалей: \[ \vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & -1 \end{vmatrix} \] \[ \vec{s} = \vec{i}(-2 - 3) - \vec{j}(0 - 3) + \vec{k}(0 - 6) = -5\vec{i} + 3\vec{j} - 6\vec{k} \] Направляющий вектор \(\vec{s} = (-5; 3; -6)\). Найдем любую точку \(A\), лежащую на линии пересечения. Пусть \(z = 1\): Из первого уравнения: \(2y + 1 + 3 = 0 \implies 2y = -4 \implies y = -2\). Из второго уравнения: \(3x + 3(-2) - 1 + 9 = 0 \implies 3x - 6 - 1 + 9 = 0 \implies 3x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{3}\). Точка \(A\left(-\frac{2}{3}; -2; 1\right)\). Каноническое уравнение прямой: \[ \frac{x + \frac{2}{3}}{-5} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 1}{-6} \] Ответ: Угол: \(\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{95}}{19}\right)\). Каноническое уравнение: \(\frac{x + 2/3}{-5} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 1}{-6}\).