Вычисление площади фигуры, ограниченной параболой y=x² и прямыми

Задание 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: \( y = x^2 \), \( x = 2 \), \( x = -1 \), \( y = 4 \). Решение: 1. Построим графики функций. \( y = x^2 \) — это парабола с вершиной в начале координат, ветви направлены вверх. \( y = 4 \) — прямая, параллельная оси \( Ox \). \( x = -1 \) и \( x = 2 \) — вертикальные прямые, ограничивающие область слева и справа. 2. Найдем точки пересечения параболы \( y = x^2 \) и прямой \( y = 4 \): \[ x^2 = 4 \] \[ x_1 = -2, \quad x_2 = 2 \] Так как по условию область ограничена \( x = -1 \) и \( x = 2 \), мы будем рассматривать интервал от \(-1\) до \(2\). 3. На интервале \( [-1; 2] \) прямая \( y = 4 \) лежит выше параболы \( y = x^2 \), так как при \( x = 0 \): \( 4 > 0^2 \). 4. Площадь \( S \) искомой фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла: \[ S = \int_{-1}^{2} (y_{верх} - y_{ниж}) dx \] \[ S = \int_{-1}^{2} (4 - x^2) dx \] 5. Вычислим интеграл: \[ S = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} \] Подставим верхний предел (\( x = 2 \)): \[ 4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24 - 8}{3} = \frac{16}{3} \] Подставим нижний предел (\( x = -1 \)): \[ 4 \cdot (-1) - \frac{(-1)^3}{3} = -4 - \left( -\frac{1}{3} \right) = -4 + \frac{1}{3} = \frac{-12 + 1}{3} = -\frac{11}{3} \] 6. Найдем разность: \[ S = \frac{16}{3} - \left( -\frac{11}{3} \right) = \frac{16}{3} + \frac{11}{3} = \frac{27}{3} = 9 \] Ответ: \( S = 9 \) кв. ед.