Геометрические характеристики поперечных сечений: Решение задачи по сопромату

3. Геометрические характеристики поперечных сечений 1. Статические моменты площади Статическим моментом площади сечения относительно оси называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на их расстояния до этой оси. \[ S_x = \int_A y dA, \quad S_y = \int_A x dA \] Если ось проходит через центр тяжести сечения, то статический момент относительно этой оси равен нулю. 2. Осевой, полярный и центробежный моменты инерции Осевые моменты инерции — это интегралы вида: \[ I_x = \int_A y^2 dA, \quad I_y = \int_A x^2 dA \] Полярный момент инерции (относительно точки начала координат): \[ I_\rho = \int_A \rho^2 dA = I_x + I_y \] Центробежный момент инерции: \[ I_{xy} = \int_A xy dA \] Если сечение имеет хотя бы одну ось симметрии, то центробежный момент инерции относительно этой оси и любой перпендикулярной ей оси равен нулю. 3. Осевые моменты инерции для простейших фигур Для прямоугольника (ширина b, высота h) относительно центральных осей: \[ I_x = \frac{bh^3}{12}, \quad I_y = \frac{hb^3}{12} \] Для треугольника (основание b, высота h) относительно оси, проходящей через центр тяжести параллельно основанию: \[ I_x = \frac{bh^3}{36} \] Для круга (диаметр d): \[ I_x = I_y = \frac{\pi d^4}{64}, \quad I_\rho = \frac{\pi d^4}{32} \] 4. Зависимость между моментами инерции для параллельных осей (Теорема Штейнера) Если известны моменты инерции относительно центральных осей \( x_c, y_c \), то моменты относительно параллельных им осей \( x, y \) находятся так: \[ I_x = I_{xc} + a^2 A, \quad I_y = I_{yc} + b^2 A \] где \( a \) и \( b \) — расстояния между осями, \( A \) — площадь сечения. 5. Изменение моментов инерции при повороте осей При повороте осей на угол \( \alpha \) новые моменты инерции вычисляются по формулам: \[ I_{u} = \frac{I_x + I_y}{2} + \frac{I_x - I_y}{2} \cos 2\alpha - I_{xy} \sin 2\alpha \] \[ I_{uv} = \frac{I_x - I_y}{2} \sin 2\alpha + I_{xy} \cos 2\alpha \] 6. Главные моменты инерции Это экстремальные (максимальное и минимальное) значения осевых моментов инерции. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции. \[ I_{max, min} = \frac{I_x + I_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{I_x - I_y}{2}\right)^2 + I_{xy}^2} \] 7. Вычисление моментов инерции сложных сечений Для сложного сечения, состоящего из нескольких простых фигур: 1) Разбиваем сечение на простые части. 2) Находим центр тяжести всего сечения. 3) Вычисляем моменты инерции каждой части относительно их собственных центральных осей. 4) Используя теорему Штейнера, пересчитываем их относительно центральных осей всего сечения. 5) Суммируем полученные результаты: \( I_x = \sum I_{xi} \). 8. Радиусы инерции Радиусом инерции называется геометрическая величина, определяемая по формулам: \[ i_x = \sqrt{\frac{I_x}{A}}, \quad i_y = \sqrt{\frac{I_y}{A}} \] Радиус инерции характеризует способность сечения сопротивляться потере устойчивости или изгибу.