Решение задачи по Сопромату: Изгиб прямого бруса

Тема: Изгиб прямого бруса 1. Типы опор балок В сопротивлении материалов рассматривают три основных типа опор: - Шарнирно-подвижная опора: ограничивает перемещение только по вертикали. Возникает одна реакция \( R \). - Шарнирно-неподвижная опора: ограничивает перемещение по вертикали и горизонтали. Возникают две реакции \( R_x \) и \( R_y \). - Жесткая заделка (защемление): ограничивает все перемещения и поворот. Возникают две реакции и реактивный момент \( M \). 2. Внешние силы и внутренние усилия Внешние силы: сосредоточенные силы, пары сил (моменты) и распределенная нагрузка \( q \). Внутренние силы при изгибе: - Изгибающий момент \( M_x \): вызывает искривление оси бруса. - Поперечная сила \( Q_y \): стремится сдвинуть одну часть бруса относительно другой. 3. Чистый и поперечный изгиб - Чистый изгиб: в сечениях бруса возникает только изгибающий момент, а поперечная сила равна нулю \( (Q_y = 0) \). - Поперечный изгиб: в сечениях действуют одновременно и момент, и поперечная сила \( (Q_y \neq 0) \). 4. Дифференциальные зависимости Журавского Между нагрузкой, силой и моментом существуют связи: \[ \frac{dQ_y}{dz} = -q \] \[ \frac{dM_x}{dz} = Q_y \] Отсюда следует, что вторая производная момента равна интенсивности нагрузки: \[ \frac{d^2M_x}{dz^2} = -q \] 5. Нормальные напряжения и кривизна При чистом изгибе справедлива гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли). Формула для нормальных напряжений: \[ \sigma = \frac{M_x}{I_x} \cdot y \] где \( I_x \) — момент инерции сечения, \( y \) — расстояние от нейтральной оси. Связь момента с кривизной оси: \[ \frac{1}{\rho} = \frac{M_x}{E \cdot I_x} \] Произведение \( E \cdot I_x \) называется жесткостью бруса при изгибе. 6. Касательные напряжения (Формула Журавского) При поперечном изгибе возникают касательные напряжения \( \tau \), которые вычисляются по формуле: \[ \tau = \frac{Q_y \cdot S_x^{отс}}{I_x \cdot b} \] где \( S_x^{отс} \) — статический момент отсеченной части площади сечения, \( b \) — ширина сечения в месте определения напряжений. 7. Изгиб двутавра В двутавровом сечении основную часть изгибающего момента воспринимают полки, а поперечную силу — стенка. Касательные напряжения в стенке распределяются по параболе, достигая максимума на нейтральной оси. В полках возникают как вертикальные, так и горизонтальные касательные напряжения. 8. Главные напряжения В точках бруса действует сложное напряженное состояние. Главные напряжения \( \sigma_{1,3} \) определяются через нормальные и касательные: \[ \sigma_{1,3} = \frac{\sigma}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^2 + \tau^2} \] Траектории главных напряжений — это линии, в каждой точке которых касательные совпадают с направлениями главных напряжений. Они позволяют наглядно увидеть распределение усилий в конструкции, что крайне важно для отечественной инженерной школы при проектировании надежных сооружений.