Сдвиг и Кручение: Решение задачи по Сопромату

4. Сдвиг и кручение 1. Напряжения и деформации при сдвиге Сдвигом называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только одна внутренняя сила — поперечная сила \( Q \). Касательные напряжения \( \tau \) при сдвиге распределяются по сечению равномерно и определяются формулой: \[ \tau = \frac{Q}{A} \] где \( A \) — площадь сечения. Деформация сдвига характеризуется углом сдвига \( \gamma \) (перекос прямого угла элемента). Абсолютный сдвиг \( \Delta s \) связан с углом сдвига соотношением: \[ \gamma \approx \tan \gamma = \frac{\Delta s}{h} \] 2. Чистый сдвиг и закон Гука Чистым сдвигом называется напряженное состояние, при котором по граням выделенного элемента действуют только касательные напряжения. Закон Гука при сдвиге: касательное напряжение прямо пропорционально углу сдвига: \[ \tau = G \cdot \gamma \] где \( G \) — модуль сдвига (модуль упругости второго рода), характеризующий жесткость материала при сдвиге. 3. Зависимость между G и E Для изотропного материала существует математическая связь между модулем продольной упругости \( E \), модулем сдвига \( G \) и коэффициентом Пуассона \( \mu \): \[ G = \frac{E}{2(1 + \mu)} \] 4. Расчет на прочность соединений При расчете заклепок, болтов и сварных швов основным условием прочности является ограничение касательных напряжений: \[ \tau = \frac{P}{n \cdot m \cdot A} \le [\tau] \] где \( P \) — нагрузка, \( n \) — число болтов/заклепок, \( m \) — число плоскостей среза. Также соединения проверяются на смятие: \[ \sigma_{см} = \frac{P}{d \cdot \delta} \le [\sigma_{см}] \] 5. Кручение прямого бруса Кручением называется вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент \( M_z \) (или \( T \)). Внешние силы — это сосредоточенные моменты (пары сил), действующие в плоскостях, перпендикулярных оси бруса. 6. Эпюра крутящих моментов Эпюра — это график изменения крутящего момента по длине бруса. Правило знаков: момент считается положительным, если при взгляде со стороны нормали к сечению он виден направленным против часовой стрелки. 7. Кручение бруса круглого сечения Основные допущения (гипотеза Бернулли): поперечные сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после нее, а радиусы сечений остаются прямыми. Касательные напряжения в произвольной точке сечения на расстоянии \( \rho \) от центра: \[ \tau_\rho = \frac{M_z}{I_p} \cdot \rho \] Максимальные напряжения (на поверхности): \[ \tau_{max} = \frac{M_z}{W_p} \] где \( I_p \) — полярный момент инерции, \( W_p \) — полярный момент сопротивления. 8. Угол закручивания Угол закручивания \( \phi \) на участке длиной \( l \) при постоянном моменте: \[ \phi = \frac{M_z \cdot l}{G \cdot I_p} \] Относительный угол закручивания (на единицу длины): \[ \theta = \frac{\phi}{l} = \frac{M_z}{G \cdot I_p} \] Произведение \( G \cdot I_p \) называется жесткостью сечения при кручении.