Основные задачи, понятия и принципы сопротивления материалов

1. Основные задачи, понятия и принципы сопротивления материалов Сопротивление материалов (сопромат) — это наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов конструкций. Основные задачи: 1. Прочность — способность материала сопротивляться разрушению под действием внешних сил. 2. Жесткость — способность материала сопротивляться деформации (изменению формы и размеров). 3. Устойчивость — способность материала сохранять первоначальную форму равновесия. Классификация объектов изучения: 1. Брус (стержень) — тело, длина которого значительно больше поперечных размеров. 2. Оболочка — тело, толщина которого мала по сравнению с другими размерами (криволинейная поверхность). 3. Пластина — плоское тело малой толщины. 4. Массивное тело — все три размера одного порядка. Модели деформируемых тел: Для упрощения расчетов принимают гипотезы: 1. Сплошность — материал заполняет объем без пустот. 2. Однородность — свойства одинаковы во всех точках. 3. Изотропность — свойства одинаковы во всех направлениях. 4. Идеальная упругость — тело полностью восстанавливает форму после снятия нагрузки. Классификация внешних сил: 1. По способу приложения: поверхностные (давление) и объемные (собственный вес, силы инерции). 2. По характеру действия: статические (постоянные) и динамические (ударные, вибрационные). 3. По времени действия: постоянные и временные. Внутренние силы и метод сечений: Внутренние силы возникают как реакция на внешнее воздействие. Для их определения используют метод сечений (РОЗУ): 1. Разрезаем тело воображаемой плоскостью. 2. Отбрасываем одну из частей. 3. Заменяем действие отброшенной части внутренними силами. 4. Уравновешиваем оставшуюся часть уравнениями статики. Понятие о напряжении: Напряжение — это интенсивность внутренних сил в точке сечения. Полное напряжение \( p \) раскладывается на две составляющие: 1. Нормальное напряжение \( \sigma \) — действует перпендикулярно сечению (растяжение/сжатие). 2. Касательное напряжение \( \tau \) — действует в плоскости сечения (сдвиг). Связь между ними: \[ p = \sqrt{\sigma^2 + \tau^2} \] Главный вектор и главный момент внутренних сил: В произвольном сечении бруса возникают шесть силовых факторов: - Продольная сила \( N_z \). - Поперечные силы \( Q_x, Q_y \). - Крутящий момент \( M_z \). - Изгибающие моменты \( M_x, M_y \). Выражение через напряжения: \[ N_z = \int_A \sigma dA \] \[ Q_x = \int_A \tau_{zx} dA, \quad Q_y = \int_A \tau_{zy} dA \] Основные виды деформаций стержня: 1. Растяжение (сжатие) — возникает только \( N_z \). 2. Сдвиг (срез) — возникает только \( Q \). 3. Кручение — возникает только \( M_z \). 4. Изгиб — возникают \( M \) и \( Q \). Центральное растяжение или сжатие: Это вид нагружения, при котором в любом сечении бруса возникает только продольная сила \( N \), проходящая через центр тяжести сечения. Напряжения в поперечном сечении распределены равномерно: \[ \sigma = \frac{N}{A} \] где \( A \) — площадь поперечного сечения. Эпюра напряжений в этом случае представляет собой прямоугольник. Продольные и поперечные деформации: При растяжении стержень удлиняется на \( \Delta l \) и сужается на \( \Delta d \). Относительная продольная деформация: \[ \epsilon = \frac{\Delta l}{l} \] Относительная поперечная деформация: \[ \epsilon' = \frac{\Delta d}{d} \] Закон Гука: В пределах упругости напряжение прямо пропорционально деформации: \[ \sigma = E \cdot \epsilon \] где \( E \) — модуль упругости первого рода (модуль Юнга), характеризующий жесткость материала. Коэффициент Пуассона \( \mu \): Это отношение поперечной деформации к продольной (взятое по модулю): \[ \mu = \left| \frac{\epsilon'}{\epsilon} \right| \] Для большинства металлов \( \mu \approx 0,25 \dots 0,35 \). Удлинение (укорочение) стержня: Полное изменение длины стержня определяется по формуле: \[ \Delta l = \frac{N \cdot l}{E \cdot A} \] Произведение \( E \cdot A \) называется жесткостью сечения при растяжении-сжатии.