Напряженное и деформированное состояние в точке тела: Решение задачи

2. Напряженное и деформированное состояние в точке тела Общий случай напряженного состояния в точке: Напряженное состояние в точке определяется совокупностью всех напряжений, действующих на бесконечном множестве площадок, проходящих через эту точку. В общем случае (объемное напряженное состояние) через точку можно выделить элементарный параллелепипед, на гранях которого действуют компоненты напряжений. Компоненты вектора напряжений: На каждой грани действуют одно нормальное напряжение \( \sigma \) и два касательных \( \tau \). Всего в общем случае имеем 9 компонент, которые образуют тензор напряжений: \[ \begin{pmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{pmatrix} \] Согласно закону парности касательных напряжений \( \tau_{xy} = \tau_{yx} \), \( \tau_{xz} = \tau_{zx} \), \( \tau_{yz} = \tau_{zy} \), поэтому независимых компонент всего шесть. Понятие о главных площадках и главных напряжениях: Главные площадки — это такие площадки, проходящие через точку, на которых касательные напряжения равны нулю (\( \tau = 0 \)). Главные напряжения — это нормальные напряжения, действующие на главных площадках. Их принято обозначать \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \), причем соблюдается условие: \[ \sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3 \] Напряжение на наклонной площадке: Если мы знаем главные напряжения, то нормальное \( \sigma_{\alpha} \) и касательное \( \tau_{\alpha} \) напряжения на площадке, наклоненной под углом \( \alpha \) к главной площадке (в случае плоского напряженного состояния), определяются по формулам: \[ \sigma_{\alpha} = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2} + \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2} \cos 2\alpha \] \[ \tau_{\alpha} = \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2} \sin 2\alpha \] Площадки с наибольшими касательными напряжениями: Максимальные касательные напряжения действуют на площадках, наклоненных под углом \( 45^{\circ} \) к главным площадкам. Их величина определяется как полуразность главных напряжений: \[ \tau_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} \] Понятие о деформированном состоянии в точке: Деформированное состояние в точке характеризует изменение формы и размеров элементарного объема в окрестности этой точки. Оно описывается шестью компонентами: 1. Три относительных линейных деформации \( \epsilon_x, \epsilon_y, \epsilon_z \) (изменение длин ребер). 2. Три относительных угловых деформации \( \gamma_{xy}, \gamma_{yz}, \gamma_{zx} \) (изменение прямых углов между гранями — сдвиг). Аналогично напряжениям, существуют главные оси деформации, в которых угловые деформации отсутствуют, а линейные деформации принимают экстремальные значения \( \epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3 \). Связь между напряжениями и деформациями в общем случае описывается обобщенным законом Гука: \[ \epsilon_1 = \frac{1}{E} [\sigma_1 - \mu(\sigma_2 + \sigma_3)] \] \[ \epsilon_2 = \frac{1}{E} [\sigma_2 - \mu(\sigma_1 + \sigma_3)] \] \[ \epsilon_3 = \frac{1}{E} [\sigma_3 - \mu(\sigma_1 + \sigma_2)] \]