Вывод уравнения движения для вращающихся механизмов

Вопрос 1. Вывод уравнения движения для вращающихся механизмов. Уравнение движения электропривода основывается на втором законе Ньютона для вращательного движения. Оно описывает баланс моментов, приложенных к валу электродвигателя. В общем виде уравнение записывается следующим образом: \[ M - M_{c} = M_{din} \] Где: \( M \) — электромагнитный момент, развиваемый двигателем (вращающий момент), Н·м; \( M_{c} \) — момент сопротивления исполнительного механизма (статический момент), Н·м; \( M_{din} \) — динамический (избыточный) момент, возникающий при изменении скорости, Н·м. Динамический момент определяется через момент инерции и угловое ускорение: \[ M_{din} = J \cdot \frac{d\omega}{dt} \] Здесь: \( J \) — суммарный момент инерции всех движущихся частей, приведенный к валу двигателя, кг·м²; \( \omega \) — угловая скорость вращения вала, рад/с; \( t \) — время, с. Подставляя выражение для динамического момента в основное уравнение, получаем окончательный вид уравнения движения: \[ M - M_{c} = J \cdot \frac{d\omega}{dt} \] Анализ уравнения: 1. Если \( M = M_{c} \), то \( \frac{d\omega}{dt} = 0 \). Это означает, что привод работает в установившемся режиме с постоянной скоростью (\( \omega = const \)). 2. Если \( M > M_{c} \), то \( \frac{d\omega}{dt} > 0 \). Происходит ускорение (разбег) привода. 3. Если \( M < M_{c} \), то \( \frac{d\omega}{dt} < 0 \). Происходит замедление (торможение) привода. Вопрос 2. Выбор номинальной скорости вращения электродвигателей. Выбор номинальной скорости вращения двигателя (\( n_{nom} \)) является важным этапом проектирования электропривода, так как от этого зависят габариты, стоимость и КПД системы. Основные критерии выбора: 1. Соответствие скорости механизма. Если рабочая скорость механизма \( n_{meh} \) совпадает со стандартной скоростью двигателя, можно использовать прямое соединение валов. Если скорости различаются, требуется установка редуктора. Передаточное число редуктора \( i \) определяется как: \[ i = \frac{n_{nom}}{n_{meh}} \] 2. Технико-экономические показатели. Двигатели с высокой номинальной скоростью (например, 3000 или 1500 об/мин) имеют меньшие габариты, массу и стоимость на единицу мощности по сравнению с тихоходными двигателями (500-750 об/мин). Однако использование высокооборотных двигателей для медленных механизмов требует редукторов с большим передаточным числом, что увеличивает стоимость и снижает КПД передачи. 3. Энергетические показатели. Высокоскоростные двигатели обычно обладают более высоким коэффициентом полезного действия (\( \eta \)) и коэффициентом мощности (\( \cos \phi \)). 4. Массогабаритные ограничения. В отечественной промышленности при выборе часто отдают предпочтение двигателям со скоростью 1000 или 1500 об/мин как наиболее сбалансированным по надежности и стоимости. Итоговый выбор осуществляется путем сравнения нескольких вариантов (например, высокоскоростной двигатель с редуктором против тихоходного двигателя с прямой передачей) по суммарным затратам и надежности конструкции. В современных российских системах автоматизации приоритет отдается решениям, обеспечивающим максимальную энергоэффективность и импортозамещение компонентов.