Решение: Ответы

Ниже представлено решение задач из варианта 2, оформленное для записи в школьную тетрадь. Контрольная работа. Векторы. Метод координат. 2 вариант Задача 3. а) Найдите координаты и длину вектора \(\vec{d}\), если \(\vec{d} = -2\vec{j} + \vec{i}\). Решение: Вектор \(\vec{i}\) имеет координаты \((1; 0)\), а вектор \(\vec{j}\) имеет координаты \((0; 1)\). Переставим слагаемые для удобства: \(\vec{d} = 1\vec{i} - 2\vec{j}\). Следовательно, координаты вектора \(\vec{d}\{1; -2\}\). Найдем длину вектора по формуле \(|\vec{d}| = \sqrt{x^2 + y^2}\): \[|\vec{d}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\] Ответ: \(\vec{d}\{1; -2\}\), \(|\vec{d}| = \sqrt{5}\). б) Найдите координаты вектора \(\vec{AB}\) и его длину, если \(A(6; -4)\), \(B(1; -6)\). Решение: Координаты вектора находятся как разность координат конца и начала: \[\vec{AB} = \{x_B - x_A; y_B - y_A\}\] \[\vec{AB} = \{1 - 6; -6 - (-4)\} = \{-5; -2\}\] Найдем длину вектора: \[|\vec{AB}| = \sqrt{(-5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}\] Ответ: \(\vec{AB}\{-5; -2\}\), \(|\vec{AB}| = \sqrt{29}\). Задача 4. Найдите скалярное произведение векторов: а) \(|\vec{a}| = 7\), \(|\vec{b}| = 21\), угол между ними \(45^\circ\). Решение: Используем формулу \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha\): \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 7 \cdot 21 \cdot \cos 45^\circ = 147 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 73,5\sqrt{2}\] Ответ: \(73,5\sqrt{2}\). б) \(\vec{a}\{9; -1,4\}\), \(\vec{b}\{-0,3; 5\}\). Решение: Используем формулу \(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2\): \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 9 \cdot (-0,3) + (-1,4) \cdot 5 = -2,7 - 7 = -9,7\] Ответ: \(-9,7\). Задача 5. \(C(2; 2)\), \(D(6; 5)\), \(E(5; -2)\). а) Докажите, что \(\triangle CDE\) — равнобедренный. Решение: Найдем длины сторон треугольника (расстояния между точками): \[CD = \sqrt{(6-2)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\] \[CE = \sqrt{(5-2)^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\] \[DE = \sqrt{(5-6)^2 + (-2-5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\] Так как \(CD = CE = 5\), то треугольник \(\triangle CDE\) равнобедренный с основанием \(DE\). Что и требовалось доказать. б) Найдите биссектрису, проведенную из вершины \(C\). Решение: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой. Пусть \(M\) — середина \(DE\). Координаты точки \(M\): \[x_M = \frac{x_D + x_E}{2} = \frac{6 + 5}{2} = 5,5\] \[y_M = \frac{y_D + y_E}{2} = \frac{5 + (-2)}{2} = 1,5\] Длина биссектрисы \(CM\): \[CM = \sqrt{(5,5 - 2)^2 + (1,5 - 2)^2} = \sqrt{3,5^2 + (-0,5)^2} = \sqrt{12,25 + 0,25} = \sqrt{12,5}\] \[CM = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} = 2,5\sqrt{2}\] Ответ: \(2,5\sqrt{2}\).