Решение задачи по дивидендному календарю БКС

Ниже представлено решение заданий из зачетного билета № 7 по дисциплине «Эконометрика». Решение оформлено максимально понятно для переписывания в тетрадь. Задание 1. Баланс для сумм квадратов отклонений В эконометрике основное уравнение дисперсионного анализа (баланс отклонений) имеет вид: \[ TSS = ESS + RSS \] где: - \( TSS = \sum (y_i - \bar{y})^2 \) — общая сумма квадратов отклонений (Total Sum of Squares); - \( ESS = \sum (\hat{y}_i - \bar{y})^2 \) — факторная (объясненная) сумма квадратов (Explained Sum of Squares); - \( RSS = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2 \) — остаточная сумма квадратов (Residual Sum of Squares). Ответы на вопросы: 1. Общая СКО (сумма квадратов отклонений) равна факторной (\( TSS = ESS \)), когда остаточная сумма квадратов \( RSS = 0 \). Это означает, что все фактические значения лежат строго на линии регрессии (функциональная связь), а коэффициент детерминации \( R^2 = 1 \). 2. Когда общая СКО равна остаточной (\( TSS = RSS \)), это означает, что факторная сумма \( ESS = 0 \). В этом случае вариация зависимой переменной никак не объясняется выбранным фактором \( x \), коэффициент детерминации \( R^2 = 0 \), а линия регрессии параллельна оси абсцисс. Задание 3. Модель адаптивных ожиданий Дано: \( \lambda = 0,4 \). Начальное значение \( S^*_{t-3} = 120 \). Значения \( S \): \( S_{t-3} = 135 \), \( S_{t-2} = 145 \), \( S_{t-1} = 155 \), \( S_t = 175 \). Уравнение адаптивных ожиданий: \[ S^*_t = S^*_{t-1} + \lambda (S_{t-1} - S^*_{t-1}) \] Последовательный расчет: 1. Для момента \( t-2 \): \[ S^*_{t-2} = S^*_{t-3} + 0,4 \times (S_{t-3} - S^*_{t-3}) \] \[ S^*_{t-2} = 120 + 0,4 \times (135 - 120) = 120 + 0,4 \times 15 = 126 \] 2. Для момента \( t-1 \): \[ S^*_{t-1} = S^*_{t-2} + 0,4 \times (S_{t-2} - S^*_{t-2}) \] \[ S^*_{t-1} = 126 + 0,4 \times (145 - 126) = 126 + 0,4 \times 19 = 126 + 7,6 = 133,6 \] 3. Для момента \( t \): \[ S^*_t = S^*_{t-1} + 0,4 \times (S_{t-1} - S^*_{t-1}) \] \[ S^*_t = 133,6 + 0,4 \times (155 - 133,6) = 133,6 + 0,4 \times 21,4 = 133,6 + 8,56 = 142,16 \] 4. Для момента \( t+1 \): \[ S^*_{t+1} = S^*_t + 0,4 \times (S_t - S^*_t) \] \[ S^*_{t+1} = 142,16 + 0,4 \times (175 - 142,16) = 142,16 + 0,4 \times 32,84 = 142,16 + 13,136 = 155,296 \] Задание 4. Проверка гипотезы об эластичности Уравнение: \( \ln y = 6,8 - 0,6 \ln x + \varepsilon \). Коэффициент регрессии \( \hat{b} = -0,6 \) является коэффициентом эластичности. Он показывает, что при росте цены на \( 1\% \) спрос падает на \( 0,6\% \). Предположение: рост цены на \( 1\% \) приводит к уменьшению спроса на \( 1,2\% \), то есть \( b_0 = -1,2 \). Проверим гипотезу \( H_0: b = -1,2 \) против \( H_1: b \neq -1,2 \). Фактическое значение t-критерия для коэффициента при \( \ln x \) дано в скобках: \( t_{fact} = -2,8 \). Однако это значение обычно дается для проверки гипотезы \( b = 0 \). Для проверки \( b = -1,2 \) нужно знать стандартную ошибку \( m_b \). Из \( t = \frac{\hat{b}}{m_b} \) находим \( m_b = \frac{-0,6}{-2,8} \approx 0,214 \). Новое значение t-статистики для проверки \( b = -1,2 \): \[ t = \frac{\hat{b} - b_0}{m_b} = \frac{-0,6 - (-1,2)}{0,214} = \frac{0,6}{0,214} \approx 2,8 \] При числе степеней свободы \( df = 20 - 2 = 18 \): - Для \( \alpha = 0,05 \), \( t_{crit} \approx 2,10 \). Так как \( 2,8 > 2,10 \), гипотеза \( b = -1,2 \) отвергается. - Для \( \alpha = 0,01 \), \( t_{crit} \approx 2,88 \). Так как \( 2,8 < 2,88 \), на уровне значимости \( 1\% \) уравнение подтверждает предположение. Ответ: На уровне значимости \( 0,01 \) (\( 1\% \)).