Решение контрольной работы по логарифмическим уравнениям

Контрольная работа по теме: Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения. Задание 1. Вычислите: а) \( 0,3 \cdot 7^{\log_{7} 2 + 2} \) Решение: Используем свойство степеней \( a^{n+m} = a^n \cdot a^m \) и основное логарифмическое тождество \( a^{\log_{a} b} = b \). \[ 0,3 \cdot 7^{\log_{7} 2} \cdot 7^2 = 0,3 \cdot 2 \cdot 49 = 0,6 \cdot 49 = 29,4 \] Ответ: 29,4. б) \( \log_{6} \log_{2} 64 \) Решение: Сначала вычислим внутренний логарифм: \( \log_{2} 64 = 6 \), так как \( 2^6 = 64 \). Подставим результат: \[ \log_{6} 6 = 1 \] Ответ: 1. в) \( \lg 10 \cdot \log_{0,2} 125 + 31^{\log_{31} 2} \) Решение: 1) \( \lg 10 = 1 \). 2) \( \log_{0,2} 125 = \log_{1/5} 5^3 = \log_{5^{-1}} 5^3 = \frac{3}{-1} \log_{5} 5 = -3 \). 3) \( 31^{\log_{31} 2} = 2 \) (по основному тождеству). Итоговое выражение: \[ 1 \cdot (-3) + 2 = -3 + 2 = -1 \] Ответ: -1. Задание 2. Решите уравнения: а) \( \log_{2} (12 - 4x) = 5 \) Решение: По определению логарифма: \[ 12 - 4x = 2^5 \] \[ 12 - 4x = 32 \] \[ -4x = 32 - 12 \] \[ -4x = 20 \] \[ x = -5 \] Проверка: \( 12 - 4(-5) = 32 > 0 \), корень подходит. Ответ: -5. б) \( 8 \log_{8} (x + 26) = 34 \) Решение: Разделим обе части на 8: \[ \log_{8} (x + 26) = \frac{34}{8} \] \[ \log_{8} (x + 26) = 4,25 \] \[ x + 26 = 8^{4,25} \] (Примечание: возможно в условии опечатка и должно быть \( 8^{\log_8(x+26)} \), тогда \( x+26=34 \), \( x=8 \). Если решать строго по фото, то ответ \( 8^{4,25} - 26 \)). Задание 3. Решите уравнения: а) \( \log_{11} x + \log_{121} 25 = \log_{\frac{1}{11}} (3x - 15) + \log_{11} 90 \) Решение: Приведем все к основанию 11. \( \log_{121} 25 = \log_{11^2} 5^2 = \frac{2}{2} \log_{11} 5 = \log_{11} 5 \). \( \log_{\frac{1}{11}} (3x - 15) = \log_{11^{-1}} (3x - 15) = -\log_{11} (3x - 15) \). Уравнение примет вид: \[ \log_{11} x + \log_{11} 5 = -\log_{11} (3x - 15) + \log_{11} 90 \] \[ \log_{11} (5x) = \log_{11} \frac{90}{3x - 15} \] \[ 5x = \frac{90}{3(x - 5)} \] \[ 5x = \frac{30}{x - 5} \] \[ x(x - 5) = 6 \] \[ x^2 - 5x - 6 = 0 \] По теореме Виета: \( x_1 = 6 \), \( x_2 = -1 \). ОДЗ: \( x > 0 \) и \( 3x - 15 > 0 \Rightarrow x > 5 \). Корень \( x = -1 \) не подходит. Ответ: 6. б) \( \log_{3}^2 x - 3 \log_{3} x - 10 = 0 \) Решение: Пусть \( \log_{3} x = t \). \[ t^2 - 3t - 10 = 0 \] По теореме Виета: \( t_1 = 5 \), \( t_2 = -2 \). Вернемся к замене: 1) \( \log_{3} x = 5 \Rightarrow x = 3^5 = 243 \). 2) \( \log_{3} x = -2 \Rightarrow x = 3^{-2} = \frac{1}{9} \). Ответ: 243; 1/9. Задание 4. Постройте график функции и прочитайте свойства: \( y = \begin{cases} \log_{2} x, \text{ если } 0 < x < 2 \\ (\frac{1}{2})^x, \text{ если } x \ge 2 \end{cases} \) Свойства: 1. Область определения: \( D(y) = (0; +\infty) \). 2. Область значений: \( E(y) = (-\infty; 1) \). 3. Функция возрастает на интервале \( (0; 2) \) и убывает на интервале \( [2; +\infty) \). 4. Точка максимума: в \( x = 2 \) функция достигает значения \( y = 1/4 \) (справа) и стремится к 1 (слева), функция имеет разрыв. 5. Нули функции: \( \log_2 x = 0 \Rightarrow x = 1 \).