Найти площадь трапеции ABCD в квадрате BECF: решение

Дано: BECF — квадрат \(P_{BECF} = 24\) м \(A\) — середина \(BE\) \(D\) — середина \(CF\) \(AD \parallel BC\) Найти: \(S_{ABCD}\) Решение: 1. Найдем сторону квадрата \(BECF\). Так как у квадрата все стороны равны, то: \[a = \frac{P}{4} = \frac{24}{4} = 6 \text{ (м)}\] Следовательно, \(BE = EC = CF = FB = 6\) м. 2. Рассмотрим трапецию \(ABCD\). Ее основаниями являются \(BC\) и \(AD\), а высотой будет расстояние между ними. Так как \(BECF\) — квадрат, то \(BC\) является его стороной, значит: \[BC = 6 \text{ (м)}\] 3. По условию \(A\) и \(D\) — середины сторон \(BE\) и \(CF\). Отрезок \(AD\) соединяет середины сторон, параллельных друг другу и перпендикулярных основаниям в данной конфигурации. В квадрате \(BECF\) отрезок \(AD\) будет равен стороне квадрата: \[AD = 6 \text{ (м)}\] Однако, исходя из построения (трапеция \(ABCD\) внутри квадрата), нам нужно найти площадь фигуры, где \(BC\) и \(AD\) — основания. Заметим, что в квадрате \(BECF\) диагональ \(BC\) (если рассматривать вершины по порядку) не может быть стороной. Если \(BECF\) — квадрат, то его стороны \(BE, EC, CF, FB\). Тогда \(BC\) — это диагональ. 4. Пересчитаем, приняв \(BC\) за диагональ: Если сторона квадрата \(a = 6\) м, то диагональ \(BC\) вычисляется по формуле: \[BC = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \text{ (м)}\] Так как \(AD\) проходит через середины сторон \(BE\) и \(CF\) параллельно \(BC\), то \(AD\) является средней линией треугольника \(EBC\) (или частью конструкции). В данном случае \(AD\) будет в два раза меньше диагонали, если рассматривать треугольник, образованный вершиной \(E\) и диагональю \(BC\): \[AD = \frac{BC}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ (м)}\] 5. Высота трапеции \(h\) равна половине расстояния от вершины \(E\) до диагонали \(BC\). Высота треугольника \(EBC\), опущенная на \(BC\), равна: \[H = \frac{BC}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ (м)}\] Тогда высота трапеции \(h\) (расстояние между \(AD\) и \(BC\)): \[h = \frac{H}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} = 1,5\sqrt{2} \text{ (м)}\] 6. Найдем площадь трапеции \(ABCD\): \[S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h\] \[S = \frac{6\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{2} \cdot 1,5\sqrt{2}\] \[S = \frac{9\sqrt{2}}{2} \cdot 1,5\sqrt{2} = 4,5\sqrt{2} \cdot 1,5\sqrt{2}\] \[S = 4,5 \cdot 1,5 \cdot 2 = 13,5 \text{ (м}^2)\] Ответ: 13,5 \(м^2\).