Решение задачи: Вариант 18 (Электростатика)

Для решения задачи выберем данные из таблицы 3.4 для варианта 18. Дано: \[ d_1 = 4 \, \text{мм} \]; \[ d_2 = 4 \, \text{мм} \]; \[ d_3 = 8 \, \text{мм} \] \[ \varepsilon_1 = 12 \]; \[ \varepsilon_2 = 16 \]; \[ \varepsilon_3 = 32 \] \[ E_{пр1} = 12 \, \text{кВ/мм} \]; \[ E_{пр2} = 20 \, \text{кВ/мм} \]; \[ E_{пр3} = 10 \, \text{кВ/мм} \] \[ U = 100 \, \text{кВ} \] Найти: выдержит ли изоляция напряжение \( U \)? Решение: 1. При последовательном соединении слоев диэлектрика напряженность электрического поля в каждом слое \( E_i \) распределяется обратно пропорционально диэлектрической проницаемости \( \varepsilon_i \). Связь между напряженностями в слоях: \[ E_1 \cdot \varepsilon_1 = E_2 \cdot \varepsilon_2 = E_3 \cdot \varepsilon_3 \] 2. Выразим \( E_2 \) и \( E_3 \) через \( E_1 \): \[ E_2 = E_1 \cdot \frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2} = E_1 \cdot \frac{12}{16} = 0,75 \cdot E_1 \] \[ E_3 = E_1 \cdot \frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_3} = E_1 \cdot \frac{12}{32} = 0,375 \cdot E_1 \] 3. Общее напряжение на многослойной изоляции равно сумме падений напряжений на каждом слое: \[ U = E_1 \cdot d_1 + E_2 \cdot d_2 + E_3 \cdot d_3 \] Подставим выраженные значения: \[ 100 = E_1 \cdot 4 + (0,75 \cdot E_1) \cdot 4 + (0,375 \cdot E_1) \cdot 8 \] \[ 100 = 4 \cdot E_1 + 3 \cdot E_1 + 3 \cdot E_1 \] \[ 100 = 10 \cdot E_1 \] 4. Рассчитаем действующие значения напряженности в каждом слое: \[ E_1 = \frac{100}{10} = 10 \, \text{кВ/мм} \] \[ E_2 = 0,75 \cdot 10 = 7,5 \, \text{кВ/мм} \] \[ E_3 = 0,375 \cdot 10 = 3,75 \, \text{кВ/мм} \] 5. Сравним полученные значения с электрической прочностью слоев (\( E_{пр} \)): Для 1-го слоя: \( E_1 = 10 < E_{пр1} = 12 \) (условие выполняется) Для 2-го слоя: \( E_2 = 7,5 < E_{пр2} = 20 \) (условие выполняется) Для 3-го слоя: \( E_3 = 3,75 < E_{пр3} = 10 \) (условие выполняется) Вывод: Так как действующая напряженность в каждом из слоев не превышает его электрическую прочность, данная изоляция выдержит повышение напряжения до 100 кВ. Ответ: Да, изоляция выдержит.