Решение задачи: Сравнение выборок по F-критерию

Для решения задачи по сравнению двух выборок и оценки их совместимости по критерию Фишера (F-критерию), выполним расчеты последовательно. 1. Характеристики первой выборки (n1 = 7): Выборка: 2,53; 2,55; 2,57; 2,52; 2,12; 2,54; 2,56. Среднее арифметическое первой выборки: \[ \bar{x}_1 = \frac{2,53 + 2,55 + 2,57 + 2,52 + 2,12 + 2,54 + 2,56}{7} = \frac{17,39}{7} \approx 2,484 \] Дисперсия первой выборки (исправленная): \[ s_1^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x}_1)^2}{n_1 - 1} \] \[ s_1^2 = \frac{(2,53-2,484)^2 + ... + (2,56-2,484)^2}{6} \approx 0,0259 \] 2. Характеристики второй выборки (n2 = 8): Выборка: 2,53; 2,55; 2,57; 2,52; 2,12; 2,54; 2,56; 2,33. Среднее арифметическое второй выборки: \[ \bar{x}_2 = \frac{17,39 + 2,33}{8} = \frac{19,72}{8} = 2,465 \] Дисперсия второй выборки (исправленная): \[ s_2^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x}_2)^2}{n_2 - 1} \] \[ s_2^2 \approx 0,0246 \] 3. Проверка по F-критерию Фишера: F-критерий вычисляется как отношение большей дисперсии к меньшей: \[ F_{расч} = \frac{s_1^2}{s_2^2} = \frac{0,0259}{0,0246} \approx 1,053 \] Определим критическое значение \( F_{табл} \) для уровня значимости 0,05 и степеней свободы \( f_1 = 7-1 = 6 \) и \( f_2 = 8-1 = 7 \). По таблице распределения Фишера: \[ F_{табл}(0,05; 6; 7) \approx 3,87 \] Сравнение: Так как \( F_{расч} (1,053) < F_{табл} (3,87) \), дисперсии выборок различаются незначимо. Выборки признаются совместимыми. 4. Окончательный результат по объединенной выборке (n = 8): Поскольку выборки совместимы и вторая выборка по сути включает в себя первую с добавлением одного элемента, итоговым результатом являются характеристики второй выборки: Среднее значение: \[ \bar{x} = 2,465 \] Стандартное отклонение: \[ s = \sqrt{s_2^2} = \sqrt{0,0246} \approx 0,157 \] Доверительный интервал (при P = 0,95, t-критерий Стьюдента для f = 7 равен 2,36): \[ \Delta x = \frac{t \cdot s}{\sqrt{n}} = \frac{2,36 \cdot 0,157}{\sqrt{8}} \approx 0,131 \] Окончательный результат: \[ 2,47 \pm 0,13 \]