Решение квадратного уравнения по дискриминанту: примеры

№ 544. Найдите корни уравнения: а) \( (2x - 3)(5x + 1) = 2x + \frac{2}{5} \) Раскроем скобки: \[ 10x^2 + 2x - 15x - 3 = 2x + 0,4 \] \[ 10x^2 - 13x - 3 = 2x + 0,4 \] Перенесем все слагаемые в левую часть: \[ 10x^2 - 13x - 2x - 3 - 0,4 = 0 \] \[ 10x^2 - 15x - 3,4 = 0 \] Для удобства умножим всё уравнение на 10: \[ 100x^2 - 150x - 34 = 0 \] Разделим на 2: \[ 50x^2 - 75x - 17 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-75)^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-17) = 5625 + 3400 = 9025 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{9025} = 95 \] Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{75 + 95}{100} = \frac{170}{100} = 1,7 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{75 - 95}{100} = \frac{-20}{100} = -0,2 \] Ответ: -0,2; 1,7. б) \( (3x - 1)(x + 3) = x(1 + 6x) \) Раскроем скобки: \[ 3x^2 + 9x - x - 3 = x + 6x^2 \] \[ 3x^2 + 8x - 3 = x + 6x^2 \] Перенесем всё в одну сторону: \[ 3x^2 - 6x^2 + 8x - x - 3 = 0 \] \[ -3x^2 + 7x - 3 = 0 \] Умножим на -1: \[ 3x^2 - 7x + 3 = 0 \] Дискриминант: \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 49 - 36 = 13 \] Корни: \[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{13}}{6} \] \[ x_2 = \frac{7 - \sqrt{13}}{6} \] Ответ: \( \frac{7 \pm \sqrt{13}}{6} \). в) \( (x - 1)(x + 1) = 2(5x - 10\frac{1}{2}) \) Применим формулу разности квадратов и раскроем скобки: \[ x^2 - 1 = 10x - 2 \cdot \frac{21}{2} \] \[ x^2 - 1 = 10x - 21 \] \[ x^2 - 10x + 20 = 0 \] Дискриминант: \[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 100 - 80 = 20 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] Корни: \[ x_1 = \frac{10 + 2\sqrt{5}}{2} = 5 + \sqrt{5} \] \[ x_2 = \frac{10 - 2\sqrt{5}}{2} = 5 - \sqrt{5} \] Ответ: \( 5 \pm \sqrt{5} \). г) \( -x(x + 7) = (x - 2)(x + 2) \) Раскроем скобки: \[ -x^2 - 7x = x^2 - 4 \] Перенесем всё в правую часть: \[ 0 = x^2 + x^2 + 7x - 4 \] \[ 2x^2 + 7x - 4 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 \] \[ \sqrt{D} = 9 \] Корни: \[ x_1 = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = 0,5 \] \[ x_2 = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4 \] Ответ: -4; 0,5.