Решение контрольной работы по теме Квадратные уравнения. 1 вариант.

Контрольная работа по теме Квадратные уравнения. 1 вариант. Задание 1. Решите уравнения: а) \( 16x - x^2 = 0 \) Вынесем общий множитель \( x \) за скобки: \( x(16 - x) = 0 \) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \( x_1 = 0 \) или \( 16 - x = 0 \) \( x_2 = 16 \) Ответ: \( 0; 16 \). б) \( 25x^2 = 49 \) Разделим обе части уравнения на 25: \( x^2 = \frac{49}{25} \) Извлечем квадратный корень: \( x = \pm \sqrt{\frac{49}{25}} \) \( x_1 = 1,4 \); \( x_2 = -1,4 \) Ответ: \( \pm 1,4 \). Задание 2. Решите уравнение: \( 3x^2 + 13x - 10 = 0 \) Найдем дискриминант по формуле \( D = b^2 - 4ac \): \( D = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289 \) \( \sqrt{D} = \sqrt{289} = 17 \) Находим корни: \( x_1 = \frac{-13 + 17}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) \( x_2 = \frac{-13 - 17}{2 \cdot 3} = \frac{-30}{6} = -5 \) Ответ: \( -5; \frac{2}{3} \). Задание 3. Решите уравнение: \( (x + 10)^2 - 9 = 0 \) Перенесем 9 в правую часть: \( (x + 10)^2 = 9 \) Отсюда следует: \( x + 10 = 3 \) или \( x + 10 = -3 \) 1) \( x = 3 - 10 = -7 \) 2) \( x = -3 - 10 = -13 \) Ответ: \( -13; -7 \). Задание 4. Пусть один катет равен \( x \) см, тогда второй катет равен \( (x + 2) \) см. Гипотенуза равна 10 см. По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \) \[ x^2 + (x + 2)^2 = 10^2 \] \[ x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100 \] \[ 2x^2 + 4x - 96 = 0 \] Разделим всё уравнение на 2: \[ x^2 + 2x - 48 = 0 \] По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -2 \) \( x_1 \cdot x_2 = -48 \) Корни: \( x_1 = 6 \), \( x_2 = -8 \). Так как длина стороны не может быть отрицательной, нам подходит только \( x = 6 \). Первый катет: 6 см. Второй катет: \( 6 + 2 = 8 \) см. Ответ: 6 см и 8 см. Задание 5. Найдите подбором корни уравнения, используя теорему Виета: \( x^2 - 14x + 45 = 0 \) Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения: 1) Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком: \( x_1 + x_2 = 14 \) 2) Произведение корней равно свободному члену: \( x_1 \cdot x_2 = 45 \) Методом подбора находим множители числа 45, сумма которых дает 14: Это числа 5 и 9, так как \( 5 \cdot 9 = 45 \) и \( 5 + 9 = 14 \). Ответ: \( 5; 9 \).