Решение контрольной работы по квадратным уравнениям

Ниже представлено полное решение всех заданий из 1 варианта контрольной работы по теме Квадратные уравнения. Оформление выполнено так, чтобы было удобно переписать в школьную тетрадь. Задание 1. Решите уравнения: а) \( 16x - x^2 = 0 \) Вынесем общий множитель \( x \) за скобки: \( x(16 - x) = 0 \) Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \( x = 0 \) или \( 16 - x = 0 \) \( x_1 = 0 \) \( x_2 = 16 \) Ответ: \( 0; 16 \). б) \( 25x^2 = 49 \) Выразим \( x^2 \): \( x^2 = \frac{49}{25} \) Находим корни: \( x = \pm \sqrt{\frac{49}{25}} \) \( x = \pm \frac{7}{5} \) \( x = \pm 1,4 \) Ответ: \( -1,4; 1,4 \). Задание 2. Решите уравнение: \( 3x^2 + 13x - 10 = 0 \) Решаем через дискриминант: \( a = 3, b = 13, c = -10 \) \[ D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{289} = 17 \] Находим корни по формуле: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + 17}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - 17}{2 \cdot 3} = \frac{-30}{6} = -5 \] Ответ: \( -5; \frac{2}{3} \). Задание 3. Решите уравнение: \( (x + 10)^2 - 9 = 0 \) Перенесем 9 в правую часть: \( (x + 10)^2 = 9 \) Извлечем корень из обеих частей: \( x + 10 = 3 \) или \( x + 10 = -3 \) 1) \( x = 3 - 10 = -7 \) 2) \( x = -3 - 10 = -13 \) Ответ: \( -13; -7 \). Задание 4. Пусть \( x \) см — длина одного катета, тогда \( (x + 2) \) см — длина другого катета. Гипотенуза равна 10 см. По теореме Пифагора: \[ x^2 + (x + 2)^2 = 10^2 \] \[ x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100 \] \[ 2x^2 + 4x + 4 - 100 = 0 \] \[ 2x^2 + 4x - 96 = 0 \] Разделим обе части на 2: \[ x^2 + 2x - 48 = 0 \] По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -2 \) \( x_1 \cdot x_2 = -48 \) Корни: \( x_1 = 6 \), \( x_2 = -8 \). Так как длина стороны не может быть отрицательной, \( x = 6 \). Первый катет — 6 см, второй катет — \( 6 + 2 = 8 \) см. Ответ: 6 см, 8 см. Задание 5. Найдите подбором корни уравнения, используя теорему Виета: \( x^2 - 14x + 45 = 0 \) По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 14 \\ x_1 \cdot x_2 = 45 \end{cases} \] Подберем пары чисел, произведение которых равно 45: 1 и 45 (сумма 46) — не подходит. 3 и 15 (сумма 18) — не подходит. 5 и 9 (сумма 14) — подходит. Следовательно, \( x_1 = 5 \), \( x_2 = 9 \). Ответ: \( 5; 9 \).