Решение задачи №15 по теореме Пифагора для 8 класса

Решение задач по геометрии для 8 класса. Задача №15 Дано: Прямоугольная трапеция \(ABCD\). \(CD \perp AD\), \(CD \perp BC\). \(BC = CD\) (отмечено штрихами). \(\angle ABC = 135^\circ\). \(AD = 14\). Найти: \(AB = x\). Решение: 1. Проведем высоту \(BH\) из вершины \(B\) к основанию \(AD\). 2. Четырехугольник \(CDHB\) — прямоугольник (так как все углы прямые). Следовательно, \(DH = BC\) и \(BH = CD\). 3. По условию \(BC = CD\), значит \(DH = BH\). Пусть \(BC = CD = a\). Тогда \(DH = a\) и \(BH = a\). 4. Найдем угол \(HBA\): \[ \angle HBA = \angle ABC - \angle HBC = 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ \] 5. В прямоугольном треугольнике \(BHA\) сумма острых углов равна \(90^\circ\), значит: \[ \angle BAH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \] Так как углы при основании равны, треугольник \(BHA\) — равнобедренный, то есть \(AH = BH = a\). 6. Выразим основание \(AD\): \[ AD = DH + AH = a + a = 2a \] \[ 14 = 2a \Rightarrow a = 7 \] 7. Теперь найдем \(x\) (гипотенузу \(AB\)) по теореме Пифагора в треугольнике \(BHA\): \[ x^2 = BH^2 + AH^2 \] \[ x^2 = 7^2 + 7^2 = 49 + 49 = 98 \] \[ x = \sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2} \] Ответ: \(x = 7\sqrt{2}\). Задача №20 Дано: Равнобедренная трапеция \(TRMK\). \(TK = 24\), \(LM = 33\). \(TR = KM\) (отмечено штрихами). \(TL \perp RM\). Найти: \(TL = x\). Решение: 1. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на два отрезка. Отрезок \(LM\) равен: \[ LM = \frac{RM + TK}{2} \] (Это свойство: отрезок от проекции вершины до дальнего угла равен средней линии). 2. Однако нам удобнее найти отрезок \(RL\). В равнобедренной трапеции: \[ RL = \frac{RM - TK}{2} \] Но нам не дано всё основание \(RM\). Заметим, что \(RM = RL + LM\). Подставим это в формулу для \(LM\): \[ 33 = \frac{(RL + 33) + 24}{2} \] \[ 66 = RL + 57 \Rightarrow RL = 66 - 57 = 9 \] 3. Теперь мы знаем, что в прямоугольном треугольнике \(TRL\) катет \(RL = 9\). Но для нахождения \(x\) по теореме Пифагора нам нужна гипотенуза \(TR\). 4. Если в задаче подразумевается, что треугольник \(TRM\) или какой-то другой элемент имеет дополнительные свойства (например, диагональ перпендикулярна боковой стороне), это должно быть указано. Если же чертеж подразумевает, что \(TL\) — высота, а \(LM\) — проекция диагонали, то обычно в таких задачах для 8 класса \(TR\) задается или есть связь с углами. 5. Предположим, что в данной задаче пропущено условие о том, что высота равна средней линии или есть угол \(45^\circ\). Если рассматривать стандартную задачу такого типа, где \(x\) находится через проекции, проверьте условие. Если \(TR\) не дано, возможно, \(x\) находится из подобия или свойств высоты, опущенной из прямого угла (если \(\angle RTM = 90^\circ\)). 6. Если \(\angle RTM = 90^\circ\), то по свойству высоты прямоугольного треугольника: \[ x^2 = RL \cdot LM \] \[ x^2 = 9 \cdot 33 = 297 \] \[ x = \sqrt{297} = 3\sqrt{33} \] Если же дополнительных данных нет, задача не имеет однозначного числового решения без значения боковой стороны или угла. Ответ: \(x = 3\sqrt{33}\) (при условии \(\angle RTM = 90^\circ\)).