Решение задачи №2 по теоретической механике (Вариант 26)

Решение задач по теоретической механике (Вариант 26). Задача №2 Дано: \(R_1 = 0,1\) м; \(R_2 = 0,4\) м; \(r_2 = 0,15\) м; Закон движения груза 3: \(s = 10t^3 + 80t\) (см); Время: \(t_1 = 5\) с. Найти: Скорость и ускорение точки \(M\) на ободе колеса 1 в момент \(t_1\). Решение: 1. Переведем закон движения груза в систему СИ (метры): \[s(t) = 0,1t^3 + 0,8t \text{ (м)}\] 2. Найдем скорость груза 3, которая равна линейной скорости точек на малом радиусе \(r_2\) колеса 2: \[v_3 = \frac{ds}{dt} = 0,3t^2 + 0,8\] При \(t_1 = 5\) с: \[v_3(5) = 0,3 \cdot 25 + 0,8 = 7,5 + 0,8 = 8,3 \text{ м/с}\] 3. Найдем угловую скорость колеса 2: \[\omega_2 = \frac{v_3}{r_2} = \frac{8,3}{0,15} \approx 55,33 \text{ рад/с}\] 4. Колеса 1 и 2 находятся в зацеплении (внешнем). Скорости в точке касания равны: \[v_{кас} = \omega_2 \cdot R_2 = \omega_1 \cdot R_1\] Отсюда угловая скорость колеса 1: \[\omega_1 = \frac{\omega_2 \cdot R_2}{R_1} = \frac{55,33 \cdot 0,4}{0,1} = 221,32 \text{ рад/с}\] 5. Скорость точки \(M\) на ободе колеса 1: \[v_M = \omega_1 \cdot R_1 = 221,32 \cdot 0,1 = 22,13 \text{ м/с}\] 6. Для ускорения найдем угловое ускорение колеса 2: \[a_3 = \frac{dv_3}{dt} = 0,6t\] При \(t = 5\) с: \(a_3 = 3 \text{ м/с}^2\). \[\varepsilon_2 = \frac{a_3}{r_2} = \frac{3}{0,15} = 20 \text{ рад/с}^2\] Угловое ускорение колеса 1: \[\varepsilon_1 = \frac{\varepsilon_2 \cdot R_2}{R_1} = \frac{20 \cdot 0,4}{0,1} = 80 \text{ рад/с}^2\] 7. Полное ускорение точки \(M\): \[a_{M\tau} = \varepsilon_1 \cdot R_1 = 80 \cdot 0,1 = 8 \text{ м/с}^2\] \[a_{Mn} = \omega_1^2 \cdot R_1 = (221,32)^2 \cdot 0,1 \approx 4898,25 \text{ м/с}^2\] \[a_M = \sqrt{a_{M\tau}^2 + a_{Mn}^2} \approx 4898,26 \text{ м/с}^2\] Ответ: \(v_M = 22,13\) м/с; \(a_M \approx 4898,26\) м/с\(^2\). Задача №3 Дано: \(R_1 = 0,3\) м; \(R_2 = 0,2\) м; \(AC = 0,2\) м; Закон вращения кривошипа \(OC\): \(\varphi = \frac{\pi t^3}{4}\); Время: \(t_1 = 5\) с. Найти: Скорость точки \(B\). Решение: 1. Угловая скорость кривошипа \(OC\) (звено 2): \[\omega_{OC} = \frac{d\varphi}{dt} = \frac{3\pi t^2}{4}\] При \(t_1 = 5\) с: \[\omega_{OC} = \frac{3\pi \cdot 25}{4} = 18,75\pi \approx 58,9 \text{ рад/с}\] 2. Точка \(C\) является центром колеса 1. Скорость точки \(C\): \[v_C = \omega_{OC} \cdot OC\] Длина \(OC = R_2 = 0,2\) м. \[v_C = 58,9 \cdot 0,2 = 11,78 \text{ м/с}\] 3. Колесо 1 катится без проскальзывания по неподвижной поверхности. Мгновенный центр скоростей (МЦС) колеса 1 находится в точке касания \(D\). Следовательно: \[v_C = \omega_1 \cdot R_1 \Rightarrow \omega_1 = \frac{v_C}{R_1} = \frac{11,78}{0,3} \approx 39,27 \text{ рад/с}\] 4. Скорость точки \(B\) находится через расстояние от МЦС (точки \(D\)) до точки \(B\). По чертежу точка \(B\) находится на ободе. Расстояние \(DB\) — это хорда. Если \(B\) находится в нижней точке вертикального диаметра, то \(v_B = 0\). Если \(B\) на горизонтальном диаметре, то \(DB = R_1\sqrt{2}\). Предположим, точка \(B\) расположена на ободе так, что \(DB\) — максимальное расстояние (верхняя точка): \[v_B = \omega_1 \cdot 2R_1 = 39,27 \cdot 0,6 = 23,56 \text{ м/с}\] Ответ: \(v_B = 23,56\) м/с (для верхней точки обода).