Решение задачи: Исследование устойчивости системы

Для исследования устойчивости системы по заданному характеристическому уравнению воспользуемся критерием Гурвица. Дано уравнение: \[ \lambda^4 + 3\lambda^3 + 3\lambda^2 + 2\lambda = 0 \] 1. Проверка необходимого условия устойчивости: Все коэффициенты уравнения должны быть строго больше нуля. В нашем случае коэффициенты при степенях \(\lambda\) равны: \[ a_0 = 1, \quad a_1 = 3, \quad a_2 = 3, \quad a_3 = 2, \quad a_4 = 0 \] Так как свободный член \( a_4 = 0 \), это означает, что один из корней уравнения равен нулю (\( \lambda = 0 \)). Система находится на границе устойчивости (нейтрально устойчива). 2. Исследуем уравнение более детально. Вынесем \(\lambda\) за скобки: \[ \lambda (\lambda^3 + 3\lambda^2 + 3\lambda + 2) = 0 \] Один корень \( \lambda_1 = 0 \). Теперь проверим на устойчивость оставшийся многочлен третьего порядка: \[ P(\lambda) = \lambda^3 + 3\lambda^2 + 3\lambda + 2 \] Для многочлена третьего порядка \( a_0\lambda^3 + a_1\lambda^2 + a_2\lambda + a_3 = 0 \) условие устойчивости Гурвица сводится к неравенству: \[ a_1 a_2 > a_0 a_3 \] Подставим наши значения: \[ a_0 = 1, \quad a_1 = 3, \quad a_2 = 3, \quad a_3 = 2 \] \[ 3 \cdot 3 > 1 \cdot 2 \] \[ 9 > 2 \] Условие выполняется. Это значит, что все остальные корни имеют отрицательные вещественные части. Вывод: Так как один корень равен нулю, а остальные имеют отрицательные вещественные части, система находится на границе устойчивости. В техническом смысле такая система считается неустойчивой или нейтрально устойчивой. Ответ: Система находится на границе устойчивости.