Решение задачи: Длина волны, масса и импульс излучения

Хорошо, я решу задачи, представленные на изображении. Буду использовать правильное форматирование MathJax и выводить текст так, чтобы его было удобно переписать в тетрадь. --- Практика Задача 6. Источник света мощностью 100 Вт испускает \(5 \cdot 10^{20}\) фотонов за одну секунду. Найти среднюю длину излучаемой волны, массу и импульс излучения. Дано: Мощность источника света \(P = 100\) Вт Количество фотонов в секунду \(N = 5 \cdot 10^{20}\) фотонов/с Постоянная Планка \(h = 6,63 \cdot 10^{-34}\) Дж \(\cdot\) с Скорость света \(c = 3 \cdot 10^8\) м/с Найти: Длина волны \(\lambda\) Масса излучения \(m\) Импульс излучения \(p\) Решение: 1. Найдем энергию одного фотона. Общая энергия, излучаемая источником за одну секунду, равна его мощности: \(E_{общ} = P \cdot t\). Поскольку мы рассматриваем одну секунду, \(E_{общ} = P\). Эта энергия состоит из энергии всех испущенных фотонов: \(E_{общ} = N \cdot E_{фотон}\), где \(E_{фотон}\) — энергия одного фотона. Тогда энергия одного фотона: \[E_{фотон} = \frac{P}{N}\] Подставим значения: \[E_{фотон} = \frac{100 \text{ Вт}}{5 \cdot 10^{20} \text{ фотонов/с}} = 2 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}\] 2. Найдем длину излучаемой волны. Энергия фотона связана с длиной волны формулой: \[E_{фотон} = \frac{h \cdot c}{\lambda}\] Отсюда выразим длину волны: \[\lambda = \frac{h \cdot c}{E_{фотон}}\] Подставим значения: \[\lambda = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{2 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}}\] \[\lambda = \frac{19,89 \cdot 10^{-26}}{2 \cdot 10^{-19}} \text{ м}\] \[\lambda = 9,945 \cdot 10^{-7} \text{ м}\] Это примерно 994,5 нм, что соответствует инфракрасному излучению. 3. Найдем массу излучения (массу фотона). Масса фотона (эквивалентная масса, согласно теории относительности) связана с его энергией формулой: \[E_{фотон} = m_{фотон} \cdot c^2\] Отсюда выразим массу фотона: \[m_{фотон} = \frac{E_{фотон}}{c^2}\] Подставим значения: \[m_{фотон} = \frac{2 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}}{(3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2}\] \[m_{фотон} = \frac{2 \cdot 10^{-19}}{9 \cdot 10^{16}} \text{ кг}\] \[m_{фотон} \approx 0,222 \cdot 10^{-35} \text{ кг}\] \[m_{фотон} \approx 2,22 \cdot 10^{-36} \text{ кг}\] Масса излучения за одну секунду будет равна \(N \cdot m_{фотон}\). Однако, обычно под "массой излучения" в таких задачах подразумевают эквивалентную массу одного фотона. Если требуется масса всех фотонов за секунду, то: \[m_{общ} = N \cdot m_{фотон} = 5 \cdot 10^{20} \cdot 2,22 \cdot 10^{-36} \text{ кг} = 11,1 \cdot 10^{-16} \text{ кг}\] Будем считать, что требуется масса одного фотона. 4. Найдем импульс излучения (импульс фотона). Импульс фотона связан с его энергией и длиной волны формулами: \[p_{фотон} = \frac{E_{фотон}}{c}\] или \[p_{фотон} = \frac{h}{\lambda}\] Используем первую формулу: \[p_{фотон} = \frac{2 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}}{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}\] \[p_{фотон} \approx 0,667 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \cdot \text{м/с}\] \[p_{фотон} \approx 6,67 \cdot 10^{-28} \text{ кг} \cdot \text{м/с}\] Импульс излучения за одну секунду будет равен \(N \cdot p_{фотон}\). Если требуется импульс всех фотонов за секунду, то: \[p_{общ} = N \cdot p_{фотон} = 5 \cdot 10^{20} \cdot 6,67 \cdot 10^{-28} \text{ кг} \cdot \text{м/с} = 33,35 \cdot 10^{-8} \text{ кг} \cdot \text{м/с} = 3,335 \cdot 10^{-7} \text{ кг} \cdot \text{м/с}\] Будем считать, что требуется импульс одного фотона. Ответ: Средняя длина излучаемой волны \(\lambda \approx 9,945 \cdot 10^{-7}\) м. Масса фотона \(m_{фотон} \approx 2,22 \cdot 10^{-36}\) кг. Импульс фотона \(p_{фотон} \approx 6,67 \cdot 10^{-28}\) кг \(\cdot\) м/с. --- Задача 7. Чему равны энергия и масса фотона радиолокационной станции, работающей на частоте \(3 \cdot 10^9\) Гц? Дано: Частота \(\nu = 3 \cdot 10^9\) Гц Постоянная Планка \(h = 6,63 \cdot 10^{-34}\) Дж \(\cdot\) с Скорость света \(c = 3 \cdot 10^8\) м/с Найти: Энергия фотона \(E_{фотон}\) Масса фотона \(m_{фотон}\) Решение: 1. Найдем энергию фотона. Энергия фотона связана с частотой формулой: \[E_{фотон} = h \cdot \nu\] Подставим значения: \[E_{фотон} = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3 \cdot 10^9 \text{ Гц}\] \[E_{фотон} = 19,89 \cdot 10^{-25} \text{ Дж}\] \[E_{фотон} \approx 1,99 \cdot 10^{-24} \text{ Дж}\] 2. Найдем массу фотона. Масса фотона (эквивалентная масса) связана с его энергией формулой: \[E_{фотон} = m_{фотон} \cdot c^2\] Отсюда выразим массу фотона: \[m_{фотон} = \frac{E_{фотон}}{c^2}\] Подставим значения: \[m_{фотон} = \frac{1,99 \cdot 10^{-24} \text{ Дж}}{(3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2}\] \[m_{фотон} = \frac{1,99 \cdot 10^{-24}}{9 \cdot 10^{16}} \text{ кг}\] \[m_{фотон} \approx 0,221 \cdot 10^{-40} \text{ кг}\] \[m_{фотон} \approx 2,21 \cdot 10^{-41} \text{ кг}\] Ответ: Энергия фотона \(E_{фотон} \approx 1,99 \cdot 10^{-24}\) Дж. Масса фотона \(m_{фотон} \approx 2,21 \cdot 10^{-41}\) кг.