Решение задач по полупроводникам InSb и InP

Хорошо, я решу задачи 3 и 4, представленные на изображении. Для решения этих задач потребуются табличные значения эффективных масс носителей и ширины запрещенной зоны для полупроводников InSb и InP. Я буду использовать общепринятые значения для комнатной температуры (300 К). Буду использовать правильное форматирование MathJax и выводить текст так, чтобы его было удобно переписать в тетрадь. --- Практика Задача 3. Воспользовавшись табличными значениями для эффективных масс носителей, оценить при комнатной температуре концентрацию носителей в собственном полупроводнике InSb. Дано: Полупроводник: InSb (антимонид индия) Температура: Комнатная температура \(T = 300\) К Постоянная Больцмана \(k = 1,38 \cdot 10^{-23}\) Дж/К Элементарный заряд \(e = 1,602 \cdot 10^{-19}\) Кл (не понадобится для концентрации) Постоянная Планка \(h = 6,626 \cdot 10^{-34}\) Дж \(\cdot\) с Масса свободного электрона \(m_0 = 9,11 \cdot 10^{-31}\) кг Табличные значения для InSb при 300 К: Ширина запрещенной зоны \(E_g = 0,17\) эВ Эффективная масса электронов \(m_n^* = 0,014 \cdot m_0\) Эффективная масса дырок \(m_p^* = 0,40 \cdot m_0\) Найти: Концентрация собственных носителей \(n_i\) Решение: 1. Переведем ширину запрещенной зоны из электрон-вольт в джоули: \[E_g = 0,17 \text{ эВ} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж/эВ} \approx 2,7234 \cdot 10^{-20} \text{ Дж}\] 2. Вычислим произведение \(kT\): \[kT = 1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К} \cdot 300 \text{ К} = 4,14 \cdot 10^{-21} \text{ Дж}\] 3. Концентрация собственных носителей \(n_i\) в собственном полупроводнике определяется формулой: \[n_i = \sqrt{N_c N_v} \cdot e^{-\frac{E_g}{2kT}}\] где \(N_c\) — эффективная плотность состояний в зоне проводимости, \(N_v\) — эффективная плотность состояний в валентной зоне. 4. Вычислим \(N_c\) и \(N_v\): \[N_c = 2 \left( \frac{2 \pi m_n^* kT}{h^2} \right)^{3/2}\] \[N_v = 2 \left( \frac{2 \pi m_p^* kT}{h^2} \right)^{3/2}\] Подставим значения эффективных масс: \(m_n^* = 0,014 \cdot 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \approx 1,2754 \cdot 10^{-32} \text{ кг}\) \(m_p^* = 0,40 \cdot 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \approx 3,644 \cdot 10^{-31} \text{ кг}\) Вычислим промежуточное выражение \(\frac{2 \pi kT}{h^2}\): \[\frac{2 \pi kT}{h^2} = \frac{2 \cdot 3,14159 \cdot 4,14 \cdot 10^{-21} \text{ Дж}}{(6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с})^2}\] \[\frac{2 \pi kT}{h^2} = \frac{26,012 \cdot 10^{-21}}{43,904 \cdot 10^{-68}} \text{ кг}^{-1} \text{м}^{-2}\] \[\frac{2 \pi kT}{h^2} \approx 0,5924 \cdot 10^{47} \text{ кг}^{-1} \text{м}^{-2}\] Теперь вычислим \(N_c\): \[N_c = 2 \left( m_n^* \cdot \frac{2 \pi kT}{h^2} \right)^{3/2}\] \[N_c = 2 \left( 1,2754 \cdot 10^{-32} \text{ кг} \cdot 0,5924 \cdot 10^{47} \text{ кг}^{-1} \text{м}^{-2} \right)^{3/2}\] \[N_c = 2 \left( 7,554 \cdot 10^{14} \text{ м}^{-2} \right)^{3/2}\] \[N_c = 2 \cdot (7,554)^{3/2} \cdot (10^{14})^{3/2} \text{ м}^{-3}\] \[N_c = 2 \cdot 20,79 \cdot 10^{21} \text{ м}^{-3} \approx 4,158 \cdot 10^{22} \text{ м}^{-3}\] И \(N_v\): \[N_v = 2 \left( m_p^* \cdot \frac{2 \pi kT}{h^2} \right)^{3/2}\] \[N_v = 2 \left( 3,644 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 0,5924 \cdot 10^{47} \text{ кг}^{-1} \text{м}^{-2} \right)^{3/2}\] \[N_v = 2 \left( 2,158 \cdot 10^{16} \text{ м}^{-2} \right)^{3/2}\] \[N_v = 2 \cdot (2,158)^{3/2} \cdot (10^{16})^{3/2} \text{ м}^{-3}\] \[N_v = 2 \cdot 3,17 \cdot 10^{24} \text{ м}^{-3} \approx 6,34 \cdot 10^{24} \text{ м}^{-3}\] 5. Вычислим экспоненциальный член: \[\frac{E_g}{2kT} = \frac{2,7234 \cdot 10^{-20} \text{ Дж}}{2 \cdot 4,14 \cdot 10^{-21} \text{ Дж}} = \frac{2,7234 \cdot 10^{-20}}{8,28 \cdot 10^{-21}} \approx 3,289\] \[e^{-\frac{E_g}{2kT}} = e^{-3,289} \approx 0,0373\] 6. Теперь вычислим \(n_i\): \[n_i = \sqrt{N_c N_v} \cdot e^{-\frac{E_g}{2kT}}\] \[n_i = \sqrt{4,158 \cdot 10^{22} \cdot 6,34 \cdot 10^{24}} \cdot 0,0373\] \[n_i = \sqrt{26,36 \cdot 10^{46}} \cdot 0,0373\] \[n_i = \sqrt{2,636 \cdot 10^{47}} \cdot 0,0373\] \[n_i \approx 1,623 \cdot 10^{23,5} \cdot 0,0373\] \[n_i \approx 1,623 \cdot 10^{23} \cdot \sqrt{10} \cdot 0,0373\] \[n_i \approx 1,623 \cdot 10^{23} \cdot 3,162 \cdot 0,0373\] \[n_i \approx 5,13 \cdot 10^{23} \cdot 0,0373\] \[n_i \approx 0,191 \cdot 10^{23} \text{ м}^{-3}\] \[n_i \approx 1,91 \cdot 10^{22} \text{ м}^{-3}\] Переведем в см\(^{-3}\): \[n_i \approx 1,91 \cdot 10^{22} \text{ м}^{-3} = 1,91 \cdot 10^{22} \cdot (10^{-2} \text{ см})^{-3} = 1,91 \cdot 10^{22} \cdot 10^6 \text{ см}^{-3} = 1,91 \cdot 10^{16} \text{ см}^{-3}\] Ответ: Концентрация собственных носителей в InSb при комнатной температуре \(n_i \approx 1,91 \cdot 10^{16}\) см\(^{-3}\). --- Задача 4. Воспользовавшись табличными значениями для эффективных масс носителей, оценить при комнатной температуре концентрацию носителей в собственном полупроводнике InP. Дано: Полупроводник: InP (фосфид индия) Температура: Комнатная температура \(T = 300\) К Постоянная Больцмана \(k = 1,38 \cdot 10^{-23}\) Дж/К Постоянная Планка \(h = 6,626 \cdot 10^{-34}\) Дж \(\cdot\) с Масса свободного электрона \(m_0 = 9,11 \cdot 10^{-31}\) кг Табличные значения для InP при 300 К: Ширина запрещенной зоны \(E_g = 1,34\) эВ Эффективная масса электронов \(m_n^* = 0,077 \cdot m_0\) Эффективная масса дырок \(m_p^* = 0,60 \cdot m_0\) Найти: Концентрация собственных носителей \(n_i\) Решение: 1. Переведем ширину запрещенной зоны из электрон-вольт в джоули: \[E_g = 1,34 \text{ эВ} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж/эВ} \approx 2,14668 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}\] 2. Вычислим произведение \(kT\): \[kT = 1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К} \cdot 300 \text{ К} = 4,14 \cdot 10^{-21} \text{ Дж}\] 3. Концентрация собственных носителей \(n_i\) определяется формулой: \[n_i = \sqrt{N_c N_v} \cdot e^{-\frac{E_g}{2kT}}\] 4. Вычислим \(N_c\) и \(N_v\): \[N_c = 2 \left( \frac{2 \pi m_n^* kT}{h^2} \right)^{3/2}\] \[N_v = 2 \left( \frac{2 \pi m_p^* kT}{h^2} \right)^{3/2}\] Подставим значения эффективных масс: \(m_n^* = 0,077 \cdot 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \approx 7,0147 \cdot 10^{-32} \text{ кг}\) \(m_p^* = 0,60 \cdot 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \approx 5,466 \cdot 10^{-31} \text{ кг}\) Вычислим промежуточное выражение \(\frac{2 \pi kT}{h^2}\) (уже вычисляли в предыдущей задаче): \[\frac{2 \pi kT}{h^2} \approx 0,5924 \cdot 10^{47} \text{ кг}^{-1} \text{м}^{-2}\] Теперь вычислим \(N_c\): \[N_c = 2 \left( m_n^* \cdot \frac{2 \pi kT}{h^2} \right)^{3/2}\] \[N_c = 2 \left( 7,0147 \cdot 10^{-32} \text{ кг} \cdot 0,5924 \cdot 10^{47} \text{ кг}^{-1} \text{м}^{-2} \right)^{3/2}\] \[N_c = 2 \left( 4,155 \cdot 10^{15} \text{ м}^{-2} \right)^{3/2}\] \[N_c = 2 \cdot (4,155)^{3/2} \cdot (10^{15})^{3/2} \text{ м}^{-3}\] \[N_c = 2 \cdot 8,47 \cdot 10^{22,5} \text{ м}^{-3} \approx 1,694 \cdot 10^{23,5} \text{ м}^{-3} \approx 5,35 \cdot 10^{23} \text{ м}^{-3}\] И \(N_v\): \[N_v = 2 \left( m_p^* \cdot \frac{2 \pi kT}{h^2} \right)^{3/2}\] \[N_v = 2 \left( 5,466 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 0,5924 \cdot 10^{47} \text{ кг}^{-1} \text{м}^{-2} \right)^{3/2}\] \[N_v = 2 \left( 3,238 \cdot 10^{16} \text{ м}^{-2} \right)^{3/2}\] \[N_v = 2 \cdot (3,238)^{3/2} \cdot (10^{16})^{3/2} \text{ м}^{-3}\] \[N_v = 2 \cdot 5,82 \cdot 10^{24} \text{ м}^{-3} \approx 1,164 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}\] 5. Вычислим экспоненциальный член: \[\frac{E_g}{2kT} = \frac{2,14668 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}}{2 \cdot 4,14 \cdot 10^{-21} \text{ Дж}} = \frac{2,14668 \cdot 10^{-19}}{8,28 \cdot 10^{-21}} \approx 25,926\] \[e^{-\frac{E_g}{2kT}} = e^{-25,926} \approx 4,95 \cdot 10^{-12}\] 6. Теперь вычислим \(n_i\): \[n_i = \sqrt{N_c N_v} \cdot e^{-\frac{E_g}{2kT}}\] \[n_i = \sqrt{5,35 \cdot 10^{23} \cdot 1,164 \cdot 10^{25}} \cdot 4,95 \cdot 10^{-12}\] \[n_i = \sqrt{6,228 \cdot 10^{48}} \cdot 4,95 \cdot 10^{-12}\] \[n_i \approx 2,496 \cdot 10^{24} \cdot 4,95 \cdot 10^{-12}\] \[n_i \approx 12,35 \cdot 10^{12} \text{ м}^{-3}\] \[n_i \approx 1,235 \cdot 10^{13} \text{ м}^{-3}\] Переведем в см\(^{-3}\): \[n_i \approx 1,235 \cdot 10^{13} \text{ м}^{-3} = 1,235 \cdot 10^{13} \cdot (10^{-2} \text{ см})^{-3} = 1,235 \cdot 10^{13} \cdot 10^6 \text{ см}^{-3} = 1,235 \cdot 10^7 \text{ см}^{-3}\] Ответ: Концентрация собственных носителей в InP при комнатной температуре \(n_