Решение задачи: Подробный разбор каждого шага

Для решения этой задачи воспользуемся координатами точек \(A\), \(B\) и \(C\) из предыдущего задания и найдем координаты точки \(D\). Напоминаю, что мы используем значения \(k = 3\) и \(n = -1\). 1. Координаты вершин: Из предыдущей задачи: \(A(1; 6; 2)\) \(B(-1; 1; 4)\) \(C(-1; 8; 1)\) Найдем координаты точки \(D(0; 2k + 2n; 3n + k)\): \(x = 0\) \(y = 2(3) + 2(-1) = 6 - 2 = 4\) \(z = 3(-1) + 3 = -3 + 3 = 0\) \(D(0; 4; 0)\) 2. Нахождение объема пирамиды \(V\): Объем пирамиды, построенной на векторах \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) и \(\vec{AD}\), равен одной шестой модуля их смешанного произведения: \[ V = \frac{1}{6} | (\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD} | \] Найдем координаты векторов: \(\vec{AB} = (-2; -5; 2)\) \(\vec{AC} = (-2; 2; -1)\) \(\vec{AD} = (0 - 1; 4 - 6; 0 - 2) = (-1; -2; -2)\) Мы уже знаем векторное произведение из прошлой задачи: \(\vec{AB} \times \vec{AC} = (1; -6; -14)\) Теперь найдем скалярное произведение этого результата с вектором \(\vec{AD}\): \[ (1; -6; -14) \cdot (-1; -2; -2) = 1 \cdot (-1) + (-6) \cdot (-2) + (-14) \cdot (-2) \] \[ = -1 + 12 + 28 = 39 \] Вычисляем объем: \[ V = \frac{1}{6} \cdot 39 = \frac{39}{6} = 6.5 \] 3. Нахождение высоты \(DE\): Высота пирамиды \(DE\), опущенная на основание \(ABC\), находится по формуле: \[ V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot DE \implies DE = \frac{3V}{S_{ABC}} \] Из предыдущей задачи нам известна площадь основания: \[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{233}}{2} \] Подставляем значения в формулу высоты: \[ DE = \frac{3 \cdot 6.5}{\frac{\sqrt{233}}{2}} = \frac{19.5 \cdot 2}{\sqrt{233}} = \frac{39}{\sqrt{233}} \] Для избавления от иррациональности в знаменателе (по правилам российской математической школы): \[ DE = \frac{39\sqrt{233}}{233} \approx 2.55 \] Ответ: Объем пирамиды \(V = 6.5\). Высота \(DE = \frac{39}{\sqrt{233}}\).