Решение дифференциального уравнения №9: y' = (y - 4)(4x + 5)

Решение дифференциального уравнения №9. Дано уравнение: \[ y' = (y - 4)(4x + 5) \] 1. Заменим \( y' \) на отношение дифференциалов \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx} = (y - 4)(4x + 5) \] 2. Разделим переменные. Перенесем все члены с \( y \) в левую часть, а с \( x \) — в правую: \[ \frac{dy}{y - 4} = (4x + 5) dx \] 3. Проинтегрируем обе части уравнения: \[ \int \frac{dy}{y - 4} = \int (4x + 5) dx \] 4. Вычислим интегралы: Левая часть: \[ \int \frac{dy}{y - 4} = \ln|y - 4| \] Правая часть: \[ \int (4x + 5) dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = 2x^2 + 5x + C \] Где \( C \) — произвольная постоянная. 5. Приравняем результаты: \[ \ln|y - 4| = 2x^2 + 5x + C \] 6. Выразим \( y \), потенцируя обе части уравнения: \[ |y - 4| = e^{2x^2 + 5x + C} \] \[ |y - 4| = e^{2x^2 + 5x} \cdot e^C \] Обозначим \( \pm e^C \) как новую константу \( C_1 \): \[ y - 4 = C_1 e^{2x^2 + 5x} \] \[ y = C_1 e^{2x^2 + 5x} + 4 \] Также стоит отметить частное решение \( y = 4 \), которое получается при \( C_1 = 0 \). Ответ: \[ y = C_1 e^{2x^2 + 5x} + 4 \]