Решение: Подробно пояснить

На картинке представлен фрагмент доказательства методом математической индукции для рекуррентной последовательности. Нам нужно упростить выражение и найти значение \( a_{k+1} \). Запишем пошаговое решение: 1. Исходное выражение: \[ a_{k+1} = 3(2^k + 1) - 2(2^{k-1} + 1) \] 2. Раскроем скобки, умножив коэффициенты на каждое слагаемое внутри: \[ a_{k+1} = 3 \cdot 2^k + 3 - 2 \cdot 2^{k-1} - 2 \] 3. Применим свойство степеней для члена \( 2 \cdot 2^{k-1} \). Так как \( 2 = 2^1 \), то при умножении показатели степеней складываются: \[ 2^1 \cdot 2^{k-1} = 2^{1 + k - 1} = 2^k \] 4. Подставим полученный результат обратно в уравнение: \[ a_{k+1} = 3 \cdot 2^k + 3 - 2^k - 2 \] 5. Сгруппируем подобные слагаемые. Сначала разберемся с числами: \[ 3 - 2 = 1 \] Теперь со степенями двойки: \[ 3 \cdot 2^k - 2^k = (3 - 1) \cdot 2^k = 2 \cdot 2^k \] 6. Снова воспользуемся свойством степеней \( 2^1 \cdot 2^k = 2^{k+1} \): \[ a_{k+1} = 2^{k+1} + 1 \] Ответ: \[ a_{k+1} = 2^{k+1} + 1 \] Это преобразование показывает, что если формула верна для шагов \( k \) и \( k-1 \), то она сохраняет свой вид и для шага \( k+1 \), что и требовалось доказать в методе математической индукции.