Решение уравнения x^3 = 1-i√3: Пошаговое объяснение

Ниже представлено подробное решение задач из варианта ВМ-302. Задание 1. Решить уравнение \(x^3 - 1 + i\sqrt{3} = 0\). Перенесем константы в правую часть: \[x^3 = 1 - i\sqrt{3}\] Представим комплексное число \(z = 1 - i\sqrt{3}\) в тригонометрической форме \(z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)\). Находим модуль: \[r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2\] Находим аргумент (число в 4-й четверти): \[\varphi = \text{arctg}\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3}\] Используем формулу Муавра для извлечения корня: \[x_k = \sqrt[3]{2} \left( \cos \frac{-\frac{\pi}{3} + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{-\frac{\pi}{3} + 2\pi k}{3} \right), \text{ где } k = 0, 1, 2\] При \(k=0\): \(x_0 = \sqrt[3]{2} (\cos(-\frac{\pi}{9}) + i \sin(-\frac{\pi}{9}))\) При \(k=1\): \(x_1 = \sqrt[3]{2} (\cos\frac{5\pi}{9} + i \sin\frac{5\pi}{9})\) При \(k=2\): \(x_2 = \sqrt[3]{2} (\cos\frac{11\pi}{9} + i \sin\frac{11\pi}{9})\) Задание 2. Решить уравнение \(y' - \frac{8y}{x} = \frac{2}{x^3}\). Это линейное уравнение первого порядка. Решаем методом замены \(y = uv\), тогда \(y' = u'v + uv'\). \[u'v + uv' - \frac{8uv}{x} = \frac{2}{x^3}\] \[u'v + u(v' - \frac{8v}{x}) = \frac{2}{x^3}\] Пусть \(v' - \frac{8v}{x} = 0\), тогда \(\frac{dv}{v} = \frac{8dx}{x}\). Интегрируя, получаем \(\ln|v| = 8\ln|x|\), откуда \(v = x^8\). Подставляем \(v\) в уравнение: \[u' \cdot x^8 = \frac{2}{x^3} \Rightarrow u' = \frac{2}{x^{11}} = 2x^{-11}\] \[u = \int 2x^{-11} dx = \frac{2x^{-10}}{-10} + C = -\frac{1}{5x^{10}} + C\] Общее решение \(y = uv\): \[y = \left(-\frac{1}{5x^{10}} + C\right)x^8 = -\frac{1}{5x^2} + Cx^8\] Задание 3. Решить задачу Коши: \(4y'' + 4y' + y = 0\), \(y(0)=1\), \(y'(0)=\frac{5}{2}\). Составим характеристическое уравнение: \[4k^2 + 4k + 1 = 0 \Rightarrow (2k + 1)^2 = 0 \Rightarrow k = -0.5 \text{ (кратный корень)}\] Общее решение: \(y = (C_1 + C_2 x)e^{-0.5x}\). Найдем производную: \(y' = C_2 e^{-0.5x} - 0.5(C_1 + C_2 x)e^{-0.5x}\). Подставим начальные условия: 1) \(y(0) = (C_1 + 0) \cdot 1 = 1 \Rightarrow C_1 = 1\). 2) \(y'(0) = C_2 - 0.5C_1 = 2.5 \Rightarrow C_2 - 0.5 = 2.5 \Rightarrow C_2 = 3\). Ответ: \(y = (1 + 3x)e^{-0.5x}\). Задание 4. Решить уравнение \(y'' + 10y' + 61y = 0\). Характеристическое уравнение: \(k^2 + 10k + 61 = 0\). Дискриминант: \(D = 100 - 4 \cdot 61 = 100 - 244 = -144\). Корни: \(k = \frac{-10 \pm \sqrt{-144}}{2} = \frac{-10 \pm 12i}{2} = -5 \pm 6i\). Общее решение: \(y = e^{-5x}(C_1 \cos 6x + C_2 \sin 6x)\). Задание 5. Решить уравнение \(y'' - 4y' + 5y = 2e^{3x}\). 1) Однородное: \(k^2 - 4k + 5 = 0\), \(D = 16 - 20 = -4\), \(k = 2 \pm i\). \(y_{одн} = e^{2x}(C_1 \cos x + C_2 \sin x)\). 2) Частное решение ищем в виде \(y_ч = Ae^{3x}\). \(y_ч' = 3Ae^{3x}\), \(y_ч'' = 9Ae^{3x}\). Подставляем: \(9Ae^{3x} - 12Ae^{3x} + 5Ae^{3x} = 2e^{3x}\). \(2Ae^{3x} = 2e^{3x} \Rightarrow A = 1\). Общее решение: \(y = e^{2x}(C_1 \cos x + C_2 \sin x) + e^{3x}\). Задание 6. Решить операторным методом \(x'' - 6x' + 8x = 0\), \(x(0)=1, x'(0)=-2\). Пусть \(x(t) \risingdotseq X(p)\). Тогда \(x'(t) \risingdotseq pX(p) - 1\), \(x''(t) \risingdotseq p^2 X(p) - p \cdot 1 - (-2) = p^2 X(p) - p + 2\). Уравнение в изображениях: \[(p^2 X - p + 2) - 6(pX - 1) + 8X = 0\] \[X(p^2 - 6p + 8) = p - 8\] \[X(p) = \frac{p - 8}{(p-2)(p-4)}\] Разложим на дроби: \(\frac{p-8}{(p-2)(p-4)} = \frac{A}{p-2} + \frac{B}{p-4}\). Методом подстановки: \(A = \frac{2-8}{2-4} = 3\), \(B = \frac{4-8}{4-2} = -2\). \[X(p) = \frac{3}{p-2} - \frac{2}{p-4}\] Переходим к оригиналам: \(x(t) = 3e^{2t} - 2e^{4t}\). Задание 7. Решить систему уравнений. Выразим \(y\) из первого уравнения: \(4y = 4x - x' \Rightarrow y = x - 0.25x'\). Дифференцируем первое уравнение: \(x'' = 4x' - 4y'\). Подставим \(y'\) из второго уравнения системы: \[x'' = 4x' - 4(2x - 5y) = 4x' - 8x + 20y\] Подставим выражение для \(y\): \[x'' = 4x' - 8x + 20(x - 0.25x') = 4x' - 8x + 20x - 5x'\] \[x'' + x' - 12x = 0\] Характеристическое уравнение: \(k^2 + k - 12 = 0 \Rightarrow (k+4)(k-3) = 0\). \(x(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-4t}\). Найдем \(y(t) = x - 0.25x'\): \(x' = 3C_1 e^{3t} - 4C_2 e^{-4t}\). \(y(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-4t} - 0.25(3C_1 e^{3t} - 4C_2 e^{-4t}) = 0.25C_1 e^{3t} + 2C_2 e^{-4t}\). Используем начальные условия \(x(0)=7, y(0)=-7\): \[\begin{cases} C_1 + C_2 = 7 \\ 0.25C_1 + 2C_2 = -7 \end{cases}\] Из первого \(C_2 = 7 - C_1\). Подставим: \(0.25C_1 + 14 - 2C_1 = -7 \Rightarrow -1.75C_1 = -21 \Rightarrow C_1 = 12\). Тогда \(C_2 = 7 - 12 = -5\). Ответ: \(x(t) = 12e^{3t} - 5e^{-4t}\), \(y(t) = 3e^{3t} - 10e^{-4t}\). Задание 8. Найти область сходимости ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{3^n \cdot n^3}\). Найдем радиус сходимости \(R\) по признаку Даламбера: \[R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3^n n^3} \cdot \frac{3^{n+1} (n+1)^3}{1} = \lim_{n \to \infty} 3 \left(\frac{n+1}{n}\right)^3 = 3\] Интервал сходимости: \(|x+2| < 3 \Rightarrow -3 < x+2 < 3 \Rightarrow -5 < x < 1\). Проверим границы: 1) При \(x = 1\): \(\sum \frac{3^n}{3^n n^3} = \sum \frac{1}{n^3}\) — сходится (обобщенный гармонический ряд, \(p=3>1\)). 2) При \(x = -5\): \(\sum \frac{(-3)^n}{3^n n^3} = \sum \frac{(-1)^n}{n^3}\) — сходится абсолютно. Область сходимости: \(x \in [-5, 1]\).