Решение уравнения x³ + 1 + i = 0 с подробным объяснением

Ниже представлено подробное решение задач из варианта 001. Решения расписаны так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. Задание 1. Решить уравнение \(x^3 + 1 + i = 0\). Перенесем константы в правую часть: \[x^3 = -1 - i\] Представим число \(z = -1 - i\) в тригонометрической форме. Находим модуль: \(r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}\). Находим аргумент (число в 3-й четверти): \(\varphi = \pi + \text{arctg}(\frac{-1}{-1}) = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}\). Используем формулу извлечения корня: \[x_k = \sqrt[3]{\sqrt{2}} \left( \cos \frac{\frac{5\pi}{4} + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{\frac{5\pi}{4} + 2\pi k}{3} \right), k = 0, 1, 2\] При \(k=0\): \(\varphi_1 = \frac{5\pi}{12}\). При \(k=1\): \(\varphi_2 = \frac{5\pi/4 + 2\pi}{3} = \frac{13\pi}{12}\). При \(k=2\): \(\varphi_3 = \frac{5\pi/4 + 4\pi}{3} = \frac{21\pi}{12} = \frac{7\pi}{4}\). Ответ: \(x = \sqrt[6]{2}(\cos \varphi_k + i \sin \varphi_k)\). Задание 2. Решить уравнение \(y' \sin x - 3y \cos x = 2 \sin^2 x\). Разделим всё на \(\sin x\): \[y' - 3y \text{ctg} x = 2 \sin x\] Решаем методом замены \(y = uv\), \(y' = u'v + uv'\): \[u'v + u(v' - 3v \text{ctg} x) = 2 \sin x\] Пусть \(v' - 3v \text{ctg} x = 0 \Rightarrow \frac{dv}{v} = 3 \frac{\cos x}{\sin x} dx\). Интегрируем: \(\ln|v| = 3 \ln|\sin x| \Rightarrow v = \sin^3 x\). Подставляем \(v\) в уравнение: \[u' \sin^3 x = 2 \sin x \Rightarrow u' = \frac{2}{\sin^2 x}\] \[u = \int \frac{2}{\sin^2 x} dx = -2 \text{ctg} x + C\] Общее решение \(y = uv\): \[y = \sin^3 x (C - 2 \text{ctg} x)\] Задание 3. Решить задачу Коши: \(y'' + 4y' + 4y = 0\), \(y(0)=1, y'(0)=-1\). Характеристическое уравнение: \(k^2 + 4k + 4 = 0 \Rightarrow (k+2)^2 = 0 \Rightarrow k = -2\). Общее решение: \(y = (C_1 + C_2 x)e^{-2x}\). Производная: \(y' = C_2 e^{-2x} - 2(C_1 + C_2 x)e^{-2x}\). Подставим условия: 1) \(y(0) = C_1 = 1\). 2) \(y'(0) = C_2 - 2C_1 = -1 \Rightarrow C_2 - 2 = -1 \Rightarrow C_2 = 1\). Ответ: \(y = e^{-2x}(1 + x)\). Задание 4. Решить уравнение \(y'' + 4y' + 8y = 0\). Характеристическое уравнение: \(k^2 + 4k + 8 = 0\). \(D = 16 - 32 = -16\). Корни: \(k = \frac{-4 \pm 4i}{2} = -2 \pm 2i\). Общее решение: \(y = e^{-2x}(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x)\). Задание 5. Решить уравнение \(y'' - 2y' + 10y = 74 \sin 3x\). 1) Однородное: \(k^2 - 2k + 10 = 0 \Rightarrow k = 1 \pm 3i\). \(y_{одн} = e^x(C_1 \cos 3x + C_2 \sin 3x)\). 2) Частное решение: \(y_ч = A \cos 3x + B \sin 3x\). \(y_ч' = -3A \sin 3x + 3B \cos 3x\). \(y_ч'' = -9A \cos 3x - 9B \sin 3x\). Подставляем в уравнение и приравниваем коэффициенты при \(\sin 3x\) и \(\cos 3x\): При \(\cos 3x\): \(-9A - 6B + 10A = 0 \Rightarrow A - 6B = 0 \Rightarrow A = 6B\). При \(\sin 3x\): \(-9B + 6A + 10B = 74 \Rightarrow B + 6(6B) = 74 \Rightarrow 37B = 74 \Rightarrow B = 2, A = 12\). Ответ: \(y = e^x(C_1 \cos 3x + C_2 \sin 3x) + 12 \cos 3x + 2 \sin 3x\). Задание 6. Решить операторным методом \(x'' + 4x' + 3x = 0\), \(x(0)=1, x'(0)=-5\). Переходим к изображениям: \[(p^2 X - p + 5) + 4(pX - 1) + 3X = 0\] \[X(p^2 + 4p + 3) = p + 4 - 5 = p - 1\] \[X(p) = \frac{p-1}{(p+1)(p+3)} = \frac{A}{p+1} + \frac{B}{p+3}\] \(A = \frac{-1-1}{-1+3} = -1\), \(B = \frac{-3-1}{-3+1} = 2\). \[X(p) = \frac{2}{p+3} - \frac{1}{p+1}\] Оригинал: \(x(t) = 2e^{-3t} - e^{-t}\). Задание 7. Решить систему уравнений. Выразим \(y\) из первого: \(7y = 3x - x' \Rightarrow y = \frac{3}{7}x - \frac{1}{7}x'\). Дифференцируем первое: \(x'' = 3x' - 7y'\). Подставим \(y'\) из второго: \(x'' = 3x' - 7(3x + 13y) = 3x' - 21x - 91y\). Подставим \(y\): \(x'' = 3x' - 21x - 91(\frac{3}{7}x - \frac{1}{7}x') = 3x' - 21x - 39x + 13x'\). \[x'' - 16x' + 60x = 0\] Корни характеристического уравнения: \(k^2 - 16k + 60 = 0 \Rightarrow k_1 = 6, k_2 = 10\). \(x(t) = C_1 e^{6t} + C_2 e^{10t}\). Используя начальные условия и связь между \(x\) и \(y\), получаем: Ответ: \(x = 7e^{6t} + 2e^{10t}\), \(y = -3e^{6t} - 2e^{10t}\). Задание 8. Найти область сходимости ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+10)^n}{7^n \cdot n^2}\). Радиус сходимости: \(R = \lim_{n \to \infty} \frac{7^{n+1} (n+1)^2}{7^n n^2} = 7\). Интервал: \(|x+10| < 7 \Rightarrow -17 < x < -3\). Проверка границ: При \(x = -3\): \(\sum \frac{7^n}{7^n n^2} = \sum \frac{1}{n^2}\) — сходится. При \(x = -17\): \(\sum \frac{(-7)^n}{7^n n^2} = \sum \frac{(-1)^n}{n^2}\) — сходится. Ответ: \(x \in [-17, -3]\).