Решение задачи: Объяснение e^(-2x), sin(2x), cos(2x)

Это отличный вопрос. В дифференциальных уравнениях вид решения напрямую зависит от корней характеристического уравнения. Давай разберем по шагам, откуда взялись именно эти числа в задании 4. У нас было уравнение: \[y'' + 4y' + 8y = 0\] Мы составили характеристическое уравнение: \[k^2 + 4k + 8 = 0\] И нашли его корни через дискриминант: \[k = -2 \pm 2i\] В математике есть строгое правило: если корни характеристического уравнения являются комплексными числами вида \[k = \alpha \pm \beta i\] то общее решение уравнения всегда записывается по следующей структуре: \[y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)\] Теперь сопоставим это с нашими числами: 1. Число \(\alpha\) (вещественная часть корня) у нас равно \(-2\). Именно поэтому в решении стоит \(e^{-2x}\). Эта часть отвечает за то, как быстро затухает или растет функция. 2. Число \(\beta\) (мнимая часть корня, то есть число перед \(i\)) у нас равно \(2\). Именно поэтому под синусом и косинусом стоит \(2x\). Эта часть отвечает за частоту колебаний. **Почему именно синус и косинус?** Это следует из формулы Эйлера, которая связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями. В школьной и студенческой программе это принимается как готовый шаблон: - Если корни вещественные и разные — пишем просто экспоненты. - Если корни комплексные — пишем экспоненту (из вещественной части) и умножаем на скобку с синусом и косинусом (из мнимой части). Так что в твоем тетрадном решении: - Степень \(-2\) у \(e\) взялась из первого числа корня. - Двойка перед \(x\) в синусе и косинусе взялась из второго числа корня (которое при \(i\)).