Разбор сложной задачи: Ответы на ваши вопросы

Это очень точное замечание! Действительно, корни всегда идут парой: \(k_1 = -2 + 2i\) и \(k_2 = -2 - 2i\). В математике принято использовать в итоговой формуле только **положительное** значение мнимой части (в нашем случае \(\beta = 2\)). Вот почему так происходит: 1. **Свойства функций:** Косинус — функция четная, то есть \(\cos(-2x) = \cos(2x)\). Синус — функция нечетная, то есть \(\sin(-2x) = -\sin(2x)\). 2. **Поглощение константой:** Если бы мы написали решение для минуса, то минус перед синусом просто "ушел" бы в произвольную константу \(C_2\). Поскольку \(C_2\) — это любое число (оно может быть как положительным, так и отрицательным), нам нет смысла загромождать формулу лишними знаками. **Как это запомнить для тетради:** Когда ты видишь корни \(\alpha \pm \beta i\): - Число \(\alpha\) (которое без \(i\)) всегда идет в степень экспоненты **со своим знаком**. - Число \(\beta\) (которое при \(i\)) всегда берется **по модулю** (положительным) и ставится внутрь синуса и косинуса. Это стандартный общепринятый вид записи решения в российской системе образования. Он позволяет избежать путаницы со знаками и записывать ответ максимально лаконично. Поэтому, несмотря на наличие \(\pm\), в скобках мы всегда пишем просто \(\cos \beta x\) и \(\sin \beta x\).