schoolМатематика
verifiedРешено AI
Подробное Решение Сложной Школьной Задачи с Объяснениями
help_outlineУсловие задачи
Подробно распиши каждое решение я как вообще не понимающий Реши задачу: Задание 1 поясни что за формуладоя извлечения корня Реши задачу: В задании 4. Почем е в такой степени и синус и косинус 2х? Реши задачу: При i стоит + и - Реши задачу: В задании 5. Что значит приравниваем и к чему? И куда подставляем?
lightbulbКраткий ответ
Получите пошаговое решение сложной задачи с объяснением каждой формулы и действия. Мы поможем вам понять, как решать подобные задачи!
Подробное решение
Это самый важный момент в решении неоднородных уравнений (когда справа не ноль, а какая-то функция). Давай разберем этот "кулинарный рецепт" по шагам.
**1. Куда подставляем?**
Мы предположили, что решение выглядит как \(y_ч = A \cos 3x + B \sin 3x\). Чтобы найти числа \(A\) и \(B\), мы должны подставить эту конструкцию в самое исходное уравнение:
\[y'' - 2y' + 10y = 74 \sin 3x\]
Для этого мы нашли производные:
\(y_ч = A \cos 3x + B \sin 3x\)
\(y_ч' = -3A \sin 3x + 3B \cos 3x\)
\(y_ч'' = -9A \cos 3x - 9B \sin 3x\)
Теперь подставляем их в левую часть уравнения:
\[(-9A \cos 3x - 9B \sin 3x) - 2(-3A \sin 3x + 3B \cos 3x) + 10(A \cos 3x + B \sin 3x) = 74 \sin 3x\]
**2. Что значит "приравниваем"?**
После подстановки у нас слева получилась длинная "каша" из синусов и косинусов, а справа — только \(74 \sin 3x\).
Математика говорит: чтобы левая часть была равна правой, коэффициенты при одинаковых функциях должны совпадать.
Мы собираем все слагаемые с **косинусами** в одну группу, а с **синусами** — в другую.
**Группа Косинусов (собираем всё, что стоит перед \(\cos 3x\)):**
Слева у нас: \(-9A\) (от \(y''\)), \(-6B\) (от \(-2y'\)), \(+10A\) (от \(10y\)).
Справа у нас: косинусов нет вообще, значит там \(0\).
Получаем уравнение: \(-9A - 6B + 10A = 0\), что упрощается в \(A - 6B = 0\).
**Группа Синусов (собираем всё, что стоит перед \(\sin 3x\)):**
Слева у нас: \(-9B\) (от \(y''\)), \(+6A\) (от \(-2y'\), так как минус на минус дает плюс), \(+10B\) (от \(10y\)).
Справа у нас: стоит число \(74\).
Получаем уравнение: \(-9B + 6A + 10B = 74\), что упрощается в \(B + 6A = 74\).
**3. Итог:**
У нас получилась система из двух простых уравнений:
\[\begin{cases} A - 6B = 0 \\ 6A + B = 74 \end{cases}\]
Из первого уравнения \(A = 6B\). Подставляем во второе:
\(6(6B) + B = 74 \Rightarrow 36B + B = 74 \Rightarrow 37B = 74 \Rightarrow B = 2\).
Раз \(B = 2\), то \(A = 6 \cdot 2 = 12\).
Теперь мы берем эти найденные \(A=12\) и \(B=2\) и вставляем их обратно в нашу заготовку \(y_ч = A \cos 3x + B \sin 3x\). Получается \(12 \cos 3x + 2 \sin 3x\). Это и есть "добавка" к общему решению.