Решение уравнения 3•25^x + 4•15^x - 15•9^x = 0 для 10 класса

Решение: Дано показательное уравнение: \[ 3 \cdot 25^x + 4 \cdot 15^x - 15 \cdot 9^x = 0 \] 1. Представим основания степеней через простые множители: \( 25 = 5^2 \), поэтому \( 25^x = (5^x)^2 \) \( 9 = 3^2 \), поэтому \( 9^x = (3^x)^2 \) \( 15 = 3 \cdot 5 \), поэтому \( 15^x = 3^x \cdot 5^x \) Перепишем уравнение: \[ 3 \cdot (5^x)^2 + 4 \cdot (5^x \cdot 3^x) - 15 \cdot (3^x)^2 = 0 \] 2. Это однородное уравнение второй степени. Чтобы его решить, разделим обе части уравнения на \( (3^x)^2 \). Так как \( 3^x \) всегда больше нуля, мы можем это сделать без потери корней. \[ \frac{3 \cdot (5^x)^2}{(3^x)^2} + \frac{4 \cdot 5^x \cdot 3^x}{(3^x)^2} - \frac{15 \cdot (3^x)^2}{(3^x)^2} = 0 \] 3. Упростим каждое слагаемое: \[ 3 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{2x} + 4 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^x - 15 = 0 \] 4. Введем замену переменной. Пусть \( \left(\frac{5}{3}\right)^x = t \), где \( t > 0 \). Тогда уравнение примет вид квадратного: \[ 3t^2 + 4t - 15 = 0 \] 5. Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 16 + 180 = 196 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{196} = 14 \] 6. Найдем корни уравнения для \( t \): \[ t_1 = \frac{-4 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \] \[ t_2 = \frac{-4 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3 \] 7. Проверим условие \( t > 0 \): Корень \( t_2 = -3 \) не подходит, так как показательная функция не может быть отрицательной. Подходит только \( t_1 = \frac{5}{3} \). 8. Вернемся к замене: \[ \left(\frac{5}{3}\right)^x = \frac{5}{3} \] \[ \left(\frac{5}{3}\right)^x = \left(\frac{5}{3}\right)^1 \] \[ x = 1 \] Ответ: 1.