Решение уравнений: 5^(2-x) = 1/2 * 10^(2-x), 8^(x-2) + 2 * 8^x - 2 * 8^(x-1) = 904, 3 - 25^x + 4 * 15^x - 15 * 9^x = 0

Решение уравнений для тетради: Уравнение №1 \( 5^{2-x} = \frac{1}{2} \cdot 10^{2-x} \) Разложим число 10 на множители 2 и 5: \( 5^{2-x} = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 5)^{2-x} \) Применим свойство степени \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \): \( 5^{2-x} = \frac{1}{2} \cdot 2^{2-x} \cdot 5^{2-x} \) Разделим обе части уравнения на \( 5^{2-x} \) (так как показательная функция всегда больше нуля): \( 1 = \frac{1}{2} \cdot 2^{2-x} \) Умножим обе части на 2: \( 2 = 2^{2-x} \) Так как \( 2 = 2^1 \), приравняем показатели степеней: \( 1 = 2 - x \) Перенесем \( x \) влево, а единицу вправо: \( x = 2 - 1 \) \( x = 1 \) Ответ: 1. Уравнение №2 \( 8^{x-2} + 2 \cdot 8^x - 2 \cdot 8^{x-1} = 904 \) Вынесем за скобки общую степень с наименьшим показателем, то есть \( 8^{x-2} \): \( 8^{x-2} \cdot (1 + 2 \cdot 8^2 - 2 \cdot 8^1) = 904 \) Вычислим значение в скобках: \( 8^{x-2} \cdot (1 + 2 \cdot 64 - 16) = 904 \) \( 8^{x-2} \cdot (1 + 128 - 16) = 904 \) \( 8^{x-2} \cdot 113 = 904 \) Разделим обе части на 113: \( 8^{x-2} = \frac{904}{113} \) \( 8^{x-2} = 8 \) Так как \( 8 = 8^1 \), приравняем показатели: \( x - 2 = 1 \) \( x = 1 + 2 \) \( x = 3 \) Ответ: 3. Уравнение №3 \( 25^x + 4 \cdot 15^x - 15 \cdot 9^x = 0 \) (Примечание: в условии была опечатка "3-", вероятно это тире или лишний символ перед уравнением однородного типа). Представим основания через степени 5 и 3: \( (5^2)^x + 4 \cdot (5 \cdot 3)^x - 15 \cdot (3^2)^x = 0 \) \( 5^{2x} + 4 \cdot 5^x \cdot 3^x - 15 \cdot 3^{2x} = 0 \) Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе части на \( 3^{2x} \) (так как \( 3^{2x} \neq 0 \)): \[ \frac{5^{2x}}{3^{2x}} + \frac{4 \cdot 5^x \cdot 3^x}{3^{2x}} - \frac{15 \cdot 3^{2x}}{3^{2x}} = 0 \] \[ \left(\frac{5}{3}\right)^{2x} + 4 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^x - 15 = 0 \] Введем замену переменной: пусть \( \left(\frac{5}{3}\right)^x = t \), где \( t > 0 \). Получаем квадратное уравнение: \( t^2 + 4t - 15 = 0 \) Найдем дискриминант: \( D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 16 + 60 = 76 \) Корни уравнения: \[ t_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{76}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{19}}{2} = -2 \pm \sqrt{19} \] Так как по условию замены \( t > 0 \), корень \( t = -2 - \sqrt{19} \) не подходит (он отрицательный). Остается: \( t = \sqrt{19} - 2 \) Сделаем обратную замену: \( \left(\frac{5}{3}\right)^x = \sqrt{19} - 2 \) Выразим \( x \) через логарифм: \( x = \log_{5/3} (\sqrt{19} - 2) \) Ответ: \( \log_{5/3} (\sqrt{19} - 2) \).