Вывод формул для правильного n-угольника

Вывод формул для правильного n-угольника Рассмотрим правильный \(n\)-угольник, вписанный в окружность радиуса \(R\). Пусть \(a_n\) — сторона этого многоугольника, а \(r\) — радиус вписанной в него окружности (апофема). 1. Рассмотрим треугольник, образованный центром окружности \(O\) и двумя соседними вершинами многоугольника \(A\) и \(B\). Этот треугольник \(AOB\) является равнобедренным, так как \(OA = OB = R\). 2. Угол при вершине \(O\) в этом треугольнике (центральный угол) равен: \[ \angle AOB = \frac{360^\circ}{n} \] 3. Проведем высоту \(OH\) из центра \(O\) к стороне \(AB\). В равнобедренном треугольнике высота также является медианой и биссектрисой. Значит: - \(AH = HB = \frac{a_n}{2}\) - \(OH = r\) (радиус вписанной окружности) - \(\angle AOH = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{180^\circ}{n}\) 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AOH\). По определениям тригонометрических функций: Для стороны \(a_n\): \[ \sin(\angle AOH) = \frac{AH}{OA} \] \[ \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{a_n / 2}{R} \] Отсюда выражаем \(a_n\): \[ \frac{a_n}{2} = R \sin\frac{180^\circ}{n} \] \[ a_n = 2R \sin\frac{180^\circ}{n} \] Для радиуса \(r\): \[ \cos(\angle AOH) = \frac{OH}{OA} \] \[ \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{r}{R} \] Отсюда выражаем \(r\): \[ r = R \cos\frac{180^\circ}{n} \] Таким образом, мы получили искомые формулы, которые связывают сторону правильного многоугольника и радиус вписанной окружности с радиусом описанной окружности.