Решение задачи по сопротивлению материалов: Расчет жесткозащемленной балки

Задача по сопротивлению материалов: Расчет жесткозащемленной балки. Дано: \(F = 6 \, \text{кН}\) \(q = 2 \, \text{кН/м}\) \(M = 12 \, \text{кН}\cdot\text{м}\) Длины участков: \(AB = 1 \, \text{м}\), \(BC = 2 \, \text{м}\), \(CD = 5 \, \text{м}\). Решение: Для консольной балки (с жесткой заделкой) расчет удобнее вести со свободного конца (справа налево), тогда не требуется предварительно находить реакции в заделке. Направим ось \(z\) от точки \(D\) влево. 1. Определение поперечных сил \(Q_y\): Участок \(DC\) (\(0 \le z_1 \le 5 \, \text{м}\)): \[Q_y(z_1) = q \cdot z_1\] При \(z_1 = 0\) (точка \(D\)): \(Q_y = 0\) При \(z_1 = 5\) (точка \(C\)): \(Q_y = 2 \cdot 5 = 10 \, \text{кН}\) Участок \(CB\) (\(5 \le z_2 \le 7 \, \text{м}\)): На этом участке добавляется вся нагрузка от \(q\), новых сил нет. \[Q_y(z_2) = q \cdot 5 = 10 \, \text{кН}\] Участок \(BA\) (\(7 \le z_3 \le 8 \, \text{м}\)): Добавляется сосредоточенная сила \(F\). \[Q_y(z_3) = q \cdot 5 + F = 10 + 6 = 16 \, \text{кН}\] 2. Определение изгибающих моментов \(M_x\): (Принимаем правило знаков: сила, растягивающая верхние волокна, дает положительный момент). Участок \(DC\) (\(0 \le z_1 \le 5 \, \text{м}\)): \[M_x(z_1) = -\frac{q \cdot z_1^2}{2}\] При \(z_1 = 0\) (точка \(D\)): \(M_x = 0\) При \(z_1 = 5\) (точка \(C\)): \(M_x = -\frac{2 \cdot 5^2}{2} = -25 \, \text{кН}\cdot\text{м}\) Участок \(CB\) (\(5 \le z_2 \le 7 \, \text{м}\)): Равнодействующая \(q\) приложена в середине участка \(CD\). Плечо до сечения: \(z_2 - 2.5\). \[M_x(z_2) = -q \cdot 5 \cdot (z_2 - 2.5)\] При \(z_2 = 5\) (точка \(C\)): \(M_x = -10 \cdot 2.5 = -25 \, \text{кН}\cdot\text{м}\) При \(z_2 = 7\) (точка \(B\) справа): \(M_x = -10 \cdot (7 - 2.5) = -45 \, \text{кН}\cdot\text{м}\) Участок \(BA\) (\(7 \le z_3 \le 8 \, \text{м}\)): В точке \(B\) приложен сосредоточенный момент \(M\). По рисунку он вращает против часовой стрелки (растягивает верхние волокна относительно правой части). \[M_x(z_3) = -q \cdot 5 \cdot (z_3 - 2.5) - F \cdot (z_3 - 7) + M\] При \(z_3 = 7\) (точка \(B\) слева): \(M_x = -45 + 12 = -33 \, \text{кН}\cdot\text{м}\) (скачок на величину \(M\)) При \(z_3 = 8\) (точка \(A\)): \(M_x = -10 \cdot 5.5 - 6 \cdot 1 + 12 = -55 - 6 + 12 = -49 \, \text{кН}\cdot\text{м}\) 3. Построение эпюр: Эпюра \(Q_y\): - На \(DC\): наклонная линия от 0 до 10 кН. - На \(CB\): горизонтальная линия 10 кН. - В точке \(B\): скачок вверх на 6 кН (до 16 кН). - На \(BA\): горизонтальная линия 16 кН. Эпюра \(M_x\): - На \(DC\): парабола, выпуклостью вверх, от 0 до -25. - На \(CB\): прямая линия от -25 до -45. - В точке \(B\): скачок вверх на 12 единиц (от -45 до -33). - На \(BA\): прямая линия от -33 до -49. Реакции в заделке \(A\) (для проверки): \(R_A = 16 \, \text{кН}\) (вверх) \(M_A = 49 \, \text{кН}\cdot\text{м}\) (по часовой стрелке)